1樓:匿名使用者
你可以這樣理解 將範數規定為矩陣的度量方法,可以通過範數對矩陣進行類似於函式的計算,將矩陣拓延到我們習慣的方**中
2樓:匿名使用者
最通俗易懂的解釋是 矩陣的模 (就是所謂的絕對值)
3樓:匿名使用者
以自己買一本《矩陣論》,或版者《數值分析》權看看,就明白了。
什麼是矩陣的範數
4樓:小慎
在介紹主題之前,先來談一個非常重要的數學思維方法:幾何方法
。在大學之前,我們學習過一次函式、二次函式、三角函式、指數函式、對數函式等,方程則是求函式的零點;到了大學,我們學微積分、複變函式、實變函式、泛函等。我們一直都在學習和研究各種函式及其性質,
函式是數學一條重要線索,另一條重要線索——幾何
,在函式的研究中發揮著不可替代的作用,幾何是函式形象表達,函式是幾何抽象描述,幾何研究「形」,函式研究「數」,它們交織在一起推動數學向更深更抽象的方向發展。
函式圖象聯絡了函式和幾何,表達兩個數之間的變化關係,
對映推廣了函式的概念,使得自變數不再僅僅侷限於一個數,也不再侷限於一維,任何事物都可以拿來作對映,維數可以是任意維,傳統的函式圖象已無法直觀地表達高維物件之間的對映關係,這就要求我們在觀念中,把三維的幾何空間推廣到抽象的n維空間。
由於對映的物件可以是任何事物
,為了便於研究對映的性質以及數學表達,我們首先需要對對映的物件進行「量化」,取定一組「基」,確定事物在這組基下的座標,事物同構於我們所熟悉的抽象幾何空間中的點,事物的對映可以理解為從一個空間中的點到另一個空間的點的對映,而對映本身也是事物,自然也可以抽象為對映空間中的一個點,這就是泛函中需要研究的物件——函式。
從一個線性空間到另一個線性空間的線性對映,可以用一個矩陣來表達,矩陣被看線性作對映,線性對映的性質可以通過研究矩陣的性質來獲得,比如矩陣的秩反映了線性對映值域空間的維數,
矩陣範數反映了線性對映把一個向量對映為另一個向量,向量的「長度」縮放的比例。
範數是把一個事物對映到非負實數,且滿足非負性、齊次性、三角不等式,符合以上定義的都可以稱之為範數,所以,範數的具體形式有很多種(由內積定義可以匯出範數,範數還也可以有其他定義,或其他方式匯出),要理解矩陣的運算元範數,首先要理解向量範數的內涵。矩陣的運算元範數,是由向量範數匯出的,由形式可以知:
由矩陣運算元範數的定義形式可知,矩陣a把向量x對映成向量ax
,取其在向量x範數為1所構成的閉集下的向量ax範數最大值作為矩陣a的範數,即矩陣對向量縮放的比例的上界,矩陣的運算元範數是相容的。由幾何意義可知,矩陣的運算元範數必然大於等於矩陣譜半徑(最大特徵值的絕對值),矩陣運算元範數對應一個取到向量ax範數最大時的向量x方向,譜半徑對應最大特徵值下的特徵向量的方向。而矩陣的奇異值分解svd
,分解成左右各一個酉陣,和擬對角矩陣,可以理解為對向量先作旋轉、再縮放、最後再旋轉,奇異值,就是縮放的比例,最大奇異值就是譜半徑的推廣,所以,矩陣運算元範數大於等於矩陣的最大奇異值,酉陣在此運算元範數的意義下,範數大於等於1
。此外,不同的矩陣範數是等價的。
範數理論是矩陣分析的基礎,度量向量之間的距離、求極限等都會用到範數,範數還在機器學習、模式識別領域有著廣泛的應用。
5樓:匿名使用者
最通俗易懂的解釋是 矩陣的模 (就是所謂的絕對值)
如何求矩陣的一範數 一範數和二範數有啥區別?
6樓:匿名使用者
∑|一、求法
1-範數:║a║1 = max(列和範數,a每一列元素絕對值之和的最大值),其中∑|ai1|第一列元素絕對值的和∑|ai1|=|a11|+|a21|+...+|an1|,其餘方法相同);
2-範數:║a║2 = a的最大奇異值 =(max)^(其中a^h為a的轉置共軛矩陣)。
二、區別:
1、意義不同:1-範數是指向量(矩陣)裡面非零元素的個數,2-範數(或euclid範數)是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。
2、求法不同:1-範數║a║1 = max,2-範數:║a║2 = a的最大奇異值 = (max)^。
7樓:ivy夏戀
1-範數:是指向量(矩陣)裡面非零元素的個數。類似於求棋盤上兩個點間的沿方格邊緣的距離。
||x||1 = sum(abs(xi));
2-範數(或euclid範數):是指空間上兩個向量矩陣的直線距離。類似於求棋盤上兩點見的直線距離 (無需只沿方格邊緣)。
||x||2 = sqrt(sum(xi.^2));
∞-範數(或最大值範數):顧名思義,求出向量矩陣中其中模最大的向量。
||x||∞ = max(abs(xi));
ps.由於不能敲公式,所以就以偽**的形式表明三種範數的演算法,另外加以文字說明,希望樓主滿意。相互學習,共同進步~
8樓:匿名使用者
範數的意義是可以度量誤差對結果的影響,1範數和二範數只是兩種度量方式
9樓:匿名使用者
a=0 1
0 0
|a-λe| =
-λ 1
0 -λ
= λ^2
所以a的特徵值為: 0, 0.
矩陣的範數怎麼求
10樓:小不懂餓
一般來講矩陣範數除了正定性,齊次性和三角不等式之外,還規定其必須滿足相容性:║xy║≤║x║║y║。所以矩陣範數通常也稱為相容範數。
如果║·║α是相容範數,且任何滿足║·║β≤║·║α的範數║·║β都不是相容範數,那麼║·║α稱為極小範數。對於n階實方陣(或複方陣)全體上的任何一個範數║·║,總存在唯一的實數k>0,使得k║·║是極小範數。
注:如果不考慮相容性,那麼矩陣範數和向量範數就沒有區別,因為mxn矩陣全體和mn維向量空間同構。引入相容性主要是為了保持矩陣作為線性運算元的特徵,這一點和運算元範數的相容性一致,並且可以得到mincowski定理以外的資訊。
矩陣範數與運算元範數有什麼區別?
11樓:匿名使用者
一、囊括範圍不同
1、矩陣範數:將一定的矩陣空間建立為賦範向量空間時為矩陣裝備的範數。
2、運算元範數:運算元範數(operate norm)是矩陣範數的一種。
二、應用形式表達不同
1、矩陣範數:應用中常將有限維賦範向量空間之間的對映以矩陣的形式表現,這時對映空間上裝備的範數也可以通過矩陣範數的形式表達。
2、運算元範數:運算元範數是矩陣範數的一種,設向量x是一個n維向量,a是一個n*n的矩陣,則a的運算元範數為max(ax/x),運算元範數也稱從屬範數,其中x≠0。
12樓:電燈劍客
對於矩陣而言,矩陣範數真包含運算元範數,也就是說任何一種運算元範數一定是矩陣範數,但是某些矩陣範數不能作為運算元範數(比如frobenius範數)。
矩陣範數的理解和計算
13樓:電燈劍客
||這個仍然是誘導範數,只是自變數和因變數用不同的範數普通的p-範數是這樣
||a||_p = sup ||ax||_p / ||x||_p,其中x非零
而||a||_ =sup ||ax||_b / ||x||_a,其中x非零
由於你這裡涉及到一個抽象的q,想要給出||p||_的簡單閉形式是不現實的,即使是||p||_q這樣的範數也沒有已知的簡單形式
什麼是矩陣的範數
14樓:電燈劍客
百科裡面有,雖然還很不完整,不過對你來講應該夠了
裡面是按方陣寫的,長方形的公式都一樣。
理論上講範數的概念屬於賦範線性空間,最重要的作用是誘匯出距離,進而還可以研究收斂性。
對於矩陣而言沒必要考慮範數的區別,因為有限維空間的範數都等價(minkowski定理),實際應用當中根據使用的難易程度來選取範數。其中理論性質最好的是2-範數,因為它可以由內積來誘導,同時和譜有著密切關聯,所以常用來進行理論分析。
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矩陣的秩一般有2種方式定義 1.用向量組的秩定義 矩陣的秩 行向量組的秩 列向量組的秩2.用非零子式定義 矩陣的秩等於矩陣的最高階非零子式的階 單純計算矩陣的秩時,可用初等行變換把矩陣化成梯形梯矩陣中非零行數就是矩陣的秩 將矩陣做初等行變換後，非零行的個數叫行秩 將其進行初等列變換後，非零列的個數叫...