1樓:匿名使用者
1。解析幾何證明
任取三點代入圓求出圓的方程再把第四點代入相等則四點共圓。
2。代數證明用複數證
3。平面幾何證
對角互補和外角等於內對角。
2樓:匿名使用者
解析幾何證明
通常是根據托勒密定理
其他方法:
1對角互補和外角等於內對角
2「同弧所對圓周角相等」的逆定理
3兩個三角形外接圓半徑相等
四點共圓證明思方法有的來
3樓:贐壭従
證明四點共圓有下述一些基本方法: 方法1 從被證共圓的四點中先選出三點作一圓,然後證另一點也在這個圓上,若能證明這一點,即可肯定這四點共圓. 方法2 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點共圓. (若能證明其兩頂角為直角,即可肯定這四個點共圓,且斜邊上兩點連線為該圓直徑。) 方法3 把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓. 方法4 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點共圓;或把被證共圓的四點兩兩連結並延長相交的兩線段,若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積,即可肯定這四點也共圓.(根據托勒密定理的逆定理) 方法5 證被證共圓的點到某一定點的距離都相等,從而確定它們共圓. 上述五種基本方法中的每一種的根據,就是產生四點共圓的一種原因,因此當要求證四點共圓的問題時,首先就要根據命題的條件,並結合圖形的特點,在這六種基本方法中選擇一種證法,給予證明. 判定與性質:
圓內接四邊形的對角和為π,並且任何一個外角都等於它的內對角。 如四邊形abcd內接於圓o,延長ab和dc交至e,過點e作圓o的切線ef,ac、bd交於p,則a+c=π,b+d=π, 。 角cbe=角adc(外角等於內對角) △abp∽△dcp(三個內角對應相等) ap*cp=bp*dp(相交弦定理) eb*ea=ec*ed(割線定理) ef*ef= eb*ea=ec*ed(切割線定理) (切割線定理,割線定理,相交弦定理統稱圓冪定理) ab*cd+ad*cb=ac*bd(托勒密定理ptolemy) 編輯本段 證明四點共圓的原理是什麼 四點共圓 證明四點共圓基本方法:
方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點共圓. 方法2 把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓. 四點共圓的判定是以四點共圓的性質的基礎上進行證明的。 四點共圓的性質: (1)同弧所對的圓周角相等 (2)圓內接四邊形的對角互補 (3)圓內接四邊形的外角等於內對角 以上性質可以根據圓周角等於它所對弧的度數的一半進行證明。
四點共圓的判定定理: 方法1 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點共圓. (可以說成:若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等,那末這二點和線段二端點四點共圓) 方法2 把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓. (可以說成:
若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等於其內對角。那末這四點共圓) 我們 可都可以用數學中的一種方法;反證法開進行證明。 現就「若平面上四點連成四邊形的對角互補。
那末這四點共圓」證明如下(其它畫個證明圖如後) 已知:四邊形abcd中,∠a+∠c=π 求證:四邊形abcd內接於一個圓(a,b,c,d四點共圓) 證明:
用反證法 過a,b,d作圓o,假設c不在圓o上,剛c在圓外或圓內, 若c在圓外,設bc交圓o於c』,連結dc』,根據圓內接四邊形的性質得∠a+∠dc』b=π, ∵∠a+∠c=π ∴∠dc』b=∠c 這與三角形外角定理矛盾,故c不可能在圓外。類似地可證c不可能在圓內。 ∴c在圓o上,也即a,b,c,d四點共圓。
四點共圓的證明方法
4樓:愛你°fp6諞
把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等),從而即可肯定這四點共圓。
幾何描述:四邊形abcd中,∠bac=∠bdc,則abcd四點共圓。
證明:過abc作一個圓,明顯d一定在圓上。若不在圓上,可設射線bd與圓的交點為d',那麼∠bd'c=∠bac=∠bdc,與外角定理矛盾。
把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓。
證法見上 把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點共圓(相交弦定理的逆定理);或把被證共圓的四點兩兩連結並延長相交的兩線段,若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積,即可肯定這四點也共圓.(割線定理的逆定理)
上述兩個定理統稱為圓冪定理的逆定理,即abcd四個點,分別連線ab和cd,它們(或它們的延長線)交點為p,若pa*pb=pc*pd,則abcd四點共圓。
證明:連線ac,bd,∵pa*pb=pc*pd
∴pa/pc=pd/pb
∵∠apc=∠bpd
∴△apc∽△dpb
當p在ab,cd上時,由相似得∠a=∠d,且a和d在bc同側。根據方法2可知abcd四點共圓。
當p在ab,cd的延長線上時,由相似得∠pac=∠d,根據方法3可知abcd四點共圓。 四邊形abcd中,若有ab*cd+ad*bc=ac*bd,即兩對邊乘積之和等於對角線乘積,則abcd四點共圓。該方法可以由托勒密定理逆定理得到。
托勒密定理逆定理:對於任意一個凸四邊形abcd,總有ab*cd+ad*bc≥ac*bd,等號成立的條件是abcd四點共圓。
如圖,在四邊形內作△apb∽△dcb(只需要作∠pab=∠cdb,∠pba=∠cbd即可)
由相似得∠abp=∠dbc,∠bap=∠bdc
∴∠abp+∠pbd=∠dbc+∠pbd
即∠abd=∠pbc
又由相似得ab:bd=pb:cb=ap:cd
∴ab*cd=bd*ap,△abd∽△pbc
∴ad:bd=pc:bc,即ad*bc=bd*pc
兩個等式相加,得ab*cd+ad*bc=bd*(pa+pc)≥bd*ac,等號成立的充要條件是apc三點共線
而apc共線意味著∠bap=∠bac,而∠bap=∠bdc,∴∠bac=∠bdc
根據方法2,abcd四點共圓 西姆鬆定理逆定理:若一點在一三角形三邊上的射影共線,則該點在三角形外接圓上。
設有一△abc,p是平面內與abc不同的點,過p作三邊垂線,垂足分別為l,m,n,若l,m,n共線,則p在△abc的外接圓上。
如圖,pm⊥ac,pn⊥ab,pl⊥bc,且l,n,m在一條線上。
連線pb,pc,∵∠plb+∠pnb=90°+90°=180°
∴plbn四點共圓
∴∠pln=∠pbn,即∠plm=∠pba
同理,∠plm=∠pcm,即∠plm=∠pca=∠pba
根據方法2,p在△abc外接圓上
證明四點共圓有哪些方法
5樓:匿名使用者
常用的方法有:
1.對角互補的四邊形,四點共圓;
2.外角等於內對角的四邊形,四點共圓;
3.同底同側的頂角相等的兩個三角形,四點共圓;
4.到定點的距離等於定長的四個點,四點共圓。
6樓:請叫我作文哥
1.對角互補的四邊形,四點共圓;
2.外角等於內對角的四邊形,四點共圓;
3.同底同側鄧頂角的兩個三角形,四點共圓;
4.到定點的距離等於定長的四個點,四點共圓。
怎麼證明四點共圓?
7樓:河傳楊穎
方法1: 把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等,從而即可肯定這四點共圓。(可以說成:
若線段同側二點到線段兩端點連線夾角相等,那麼這二點和線段二端點四點共圓)
方法2 :把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓。(可以說成:
若平面上四點連成四邊形的對角互補或一個外角等於其內對角,那麼這四點共圓)
擴充套件資料
圓的性質:
(1)圓是軸對稱圖形,其對稱軸是任意一條通過圓心的直線。圓也是中心對稱圖形,其對稱中心是圓心。
垂徑定理:垂直於弦的直徑平分這條弦,並且平分弦所對的2條弧。
垂徑定理的逆定理:平分弦(不是直徑)的直徑垂直於弦,並且平分弦所對的2條弧。
(2)有關圓周角和圓心角的性質和定理
1 在同圓或等圓中,如果兩個圓心角,兩個圓周角,兩組弧,兩條弦,兩條弦心距中有一組量相等,那麼他們所對應的其餘各組量都分別相等。
2在同圓或等圓中,相等的弧所對的圓周角等於它所對的圓心角的一半(圓周角與圓心角在弦的同側)。
直徑所對的圓周角是直角。90度的圓周角所對的弦是直徑。
圓心角計算公式: θ=(l/2πr)×360°=180°l/πr=l/r(弧度)。
即圓心角的度數等於它所對的弧的度數;圓周角的度數等於它所對的弧的度數的一半。
8樓:匿名使用者
證明四點共圓有下述一些基本方法:
方法1從被證共圓的四點中先選出三點作一圓,然後證另一點也在這個圓上,若能證明這一點,即可肯定這四點共圓.
方法2把被證共圓的四個點連成共底邊的兩個三角形,且兩三角形都在這底邊的同側,若能證明其頂角相等(同弧所對的圓周角相等),從而即可肯定這四點共圓. (若能證明其兩頂角為直角,即可肯定這四個點共圓,且斜邊上兩點連線為該圓直徑.)
方法3把被證共圓的四點連成四邊形,若能證明其對角互補或能證明其一個外角等於其鄰補角的內對角時,即可肯定這四點共圓.
方法4把被證共圓的四點兩兩連成相交的兩條線段,若能證明它們各自被交點分成的兩線段之積相等,即可肯定這四點共圓(根據相交弦定理的逆定理);或把被證共圓的四點兩兩連結並延長相交的兩線段,若能證明自交點至一線段兩個端點所成的兩線段之積等於自交點至另一線段兩端點所成的兩線段之積,即可肯定這四點也共圓.(根據托勒密定理的逆定理)
方法5證被證共圓的點到某一定點的距離都相等,從而確定它們共圓.既連成的四邊形三邊中垂線有交點,即可肯定這四點共圓.
上述五種基本方法中的每一種的根據,就是產生四點共圓的一種原因,因此當要求證四點共圓的問題時,首先就要根據命題的條件,並結合圖形的特點,在這五種基本方法中選擇一種證法,給予證明.
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