1樓：匿名使用者
注：用初等行變換(不交換行)化成梯矩陣，
非零行的首非零元所在列構成一個最高階非零子式：
2 1 8 3 7
2 -3 0 7 -5
3 -2 5 8 0
1 0 0 2 0
r1-2r4,r2-2r4,r3-3r4
0 1 8 -1 7
0 -3 0 3 -5
0 -2 5 2 0
1 0 0 2 0
r2+3r1,r3+2r1
0 1 8 -1 7
0 0 24 0 16
0 0 21 0 14
1 0 0 2 0
r3-(21/24)r2
0 1 8 -1 7
0 0 24 0 16
0 0 0 0 0
1 0 0 2 0
容易看出2,3行成比例,所以第1,2,4行,1,2,3列構成一個最高階非零子式。
擴充套件資料：
變化規律
(1)轉置後秩不變
(2)r(a)<=min(m,n),a是m*n型矩陣
(3)r(ka)=r(a),k不等於0
(4)r(a)=0 <=> a=0
(5)r(a+b)<=r(a)+r(b)
(6)r(ab)<=min(r(a),r(b))
(7)r(a)+r(b)-n<=r(ab)
證明：ab與n階單位矩陣en構造分塊矩陣
|ab o|
|o en|
a分乘下面兩塊矩陣加到上面兩塊矩陣,有
|ab a|
|0 en|
右邊兩塊矩陣分乘-b加到左邊兩塊矩陣,有
|0 a |
|-b en|
所以,r(ab)+n=r(第一個矩陣)=r(最後一個矩陣)>=r(a)+r(b)
即r(a)+r(b)-n<=r(ab)
注：這裡的n指的是a的列數。這裡假定a是m×n matrix。
特別的：a:m*n,b:n*s,ab=0 -> r(a)+r(b)<=n
(8)p,q為可逆矩陣, 則 r(pa)=r(a)=r(aq)=r(paq)。
2樓：泉逸緻
對矩陣，施行標準，程式的初等行變換,把矩陣化成行階梯形，矩陣的最高階非零子式，可取為它的非零行的非零首元，所在的行和列，構成的子式。
相應於的這些行和列,取中對應的行和列，構成的子式，即為一個最高階非零子式。
這樣選出的這個子式，對它施行與上述，對矩陣的這些行，一樣的初等行變換後,此行列式恰好，化為上三角行，行列式,它與非零子式，僅相差一個非零常數倍,從而就是一個階非零子式,即它是一個最高階非零子式。
最高階非零子式，就是矩陣a中含有一個不等於零的r階子式d，然後且r+1階都等於零，那麼d稱為矩陣的最高階非零子式。
最高階非零子式，要在矩陣d化成最簡形d後取，因為這樣比較直觀的看出非零子式，並不是要在化後的式子中取，而是要在d中取，只不過是要通過d，較直觀的看出，然後再進行在d中取。
3樓：
在m*n矩陣a中，任取k行與k列（k<=m，k<=n），位於這些行列交叉處的k^2個元素，不改變它們在a中所處的位置次序而得到的k階行列式，稱為矩陣a的k階子式.