題主提到了一個神奇的數 142857。 這個數的神奇之處在於，它的 2 倍到 6 倍是這 6 個數字的一個排列，並且如果把 142857 寫兩遍：142857142857， 則它的 2 倍到 6 倍 恰好是這 12 個數字中的連續 6 位：
142857*2=285714
142857*3=428571
142857*4=571428
142857*5=714285
142857*6=857142
看起來特別神奇是吧？擁有這種性質的數我們稱之為 「走馬燈數」，其性質就像下圖那樣：
「走馬燈數」看起來是如此神奇，直覺告訴我們，這樣的數非常罕見，然而，真的是這樣嗎？
我們注意到，142857*7=999999，而這，正是走馬燈數的奧妙所在。
如果你學過極限，應該會認同 1=0.99999999……而 142857*7=999999，意味著 142857 正是 1/7 的迴圈節。相信對於學過數學的人來說，豎式計算一定不陌生，就像下圖所示：
參見圖中的彩色數字，我們發現，在作除法的過程中，餘數為 1~6 的情況恰好都出現了。
這就不難解釋為什麼 142857 的 2~6 倍都是迴圈節的一部分：因為任何不能被 7 整除的數，餘數必然是 1~6 中的一個，因此必然會落入相同的迴圈劫中啊！
看到這裡，我們恍然大悟：如果 1/n 在做豎式除法的過程中，餘數恰好遍歷了 1,2，……，n-1，那麼其迴圈節必然也是「走馬燈數」。
在數學上可以嚴格證明，這個性質等價於：當 p 為素數，且 10 為模 p 的一個原根時， 1/p 的迴圈節是 「走馬燈數」 （反過來其實也成立）。
著名的數列** oies 給出了這樣的一個數列（a001913）：
數列的第一項就是大名鼎鼎的 7。第二項是 17，
1/17= 0.0588235294117647 （迴圈）
這就意味著： 588235294117647 也是一個「走馬燈數」：
588235294117647 *2= 1176470588235294588235294117647 *3= 1764705882352941588235294117647 *4= 2352941176470588588235294117647 *5= 2941176470588235……
類似地，1/19， 1/23， 1/29…… 的迴圈節，也能產出對應的 「走馬燈數」。
原本我們以為，像 142857 這樣的走馬燈數，是鳳毛麟角，不可多得的，沒想到，它其實也很常見啦！
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