急急急！求ZarctanYX的二階偏導數

1樓：116貝貝愛

結果為：-2xy/(x²+y²)²

解題過程如下：

原式=∂z/∂x=1/(1+y²/x²)*(-y/x²)=-y/(x²+y²)

∂z/∂y=1/(1+y²/x²)*1/x=x/(x²+y²)

∂²z/∂x²=y/(x²+y²)*2x=2xy/(x²+y²)²

∂²z/∂x∂y=-[x²+y²-2y²]/(x²+y²)²=(y²-x²)/(x²+y²)²

∂²z/∂y²=-2xy/(x²+y²)²

求二階偏導數的方法：

當函式 z=f(x,y) 在 (x0,y0)的兩個偏導數 f'x(x0,y0) 與 f'y(x0,y0)都存在時，我們稱 f(x,y) 在 (x0,y0)處可導。如果函式 f(x,y) 在域 d 的每一點均可導，那麼稱函式 f(x,y) 在域 d 可導。

此時，對應於域 d 的每一點 (x,y) ，必有一個對 x (對 y )的偏導數，因而在域 d 確定了一個新的二元函式，稱為 f(x,y) 對 x (對 y )的偏導函式。

設有二元函式 z=f(x,y) ，點(x0,y0)是其定義域d 內一點。把 y 固定在 y0而讓 x 在 x0 有增量 △x ，相應地函式 z=f(x,y) 有增量（稱為對 x 的偏增量）△z=f(x0+△x,y0)-f(x0,y0)。

如果 △z 與 △x 之比當 △x→0 時的極限存在，那麼此極限值稱為函式 z=f(x,y) 在 (x0,y0)處對 x 的偏導數，記作 f'x(x0,y0)。

函式 z=f(x,y) 在(x0,y0)處對 x 的偏導數，實際上就是把 y 固定在 y0看成常數後，一元函式z=f(x,y0)在 x0處的導數。

2樓：

∂z/∂x=1/(1+y²/x²)*(-y/x²)=-y/(x²+y²)

∂z/∂y=1/(1+y²/x²)*1/x=x/(x²+y²)∂²z/∂x²=y/(x²+y²)*2x=2xy/(x²+y²)²∂²z/∂x∂y=-[x²+y²-2y²]/(x²+y²)²=(y²-x²)/(x²+y²)²

∂²z/∂y²=-2xy/(x²+y²)²