1樓：哈拉哈拉呼
有理數知識點小結
一、正數和負數的有關概念
（1）正數：比0大的數叫做正數；負數：比0小的數叫做負數；0既不是正數，也不是負數。
注意：①字母a可以表示任意數，當a表示正數時，-a是負數；當a表示負數時，-a是正數；當a表示0時，-a仍是0。（如果出判斷題為：
帶正號的數是正數，帶負號的數是負數，這種說法是錯誤的，例如+a,-a就不能做出簡單判斷）
②正數有時也可以在前面加「+」，有時「+」省略不寫。所以省略「+」的正數的符號是正號。
（2）正數和負數表示相反意義的量。比如：
零上8℃表示為：+8℃；零下8℃表示為：-8℃ （別忘加單位）
(3) 0是正數和負數的分界線，0既不是正數，也不是負數。
0不在僅僅表示沒有，也表示實實在在的實物，比如0攝氏度，海拔0米。
二、有理數的概念及分類
有理數是整數和分數的統稱。通常有兩種分類：
注意：1.引入負數以後，奇數和偶數的範圍也擴大了，像-2,-4,-6,-8…也是偶數，-1,-3,-5…也是奇數。2.有限小數和無限迴圈小數都是分數
總結：①正整數、0統稱為非負整數（也叫自然數）
②負整數、0統稱為非正整數
③正有理數、0統稱為非負有理數
④負有理數、0統稱為非正有理數
三、有關數軸
⒈數軸的概念：規定了原點，正方向，單位長度的直線叫做數軸。
注意：⑴數軸是一條向兩端無限延伸的直線；⑵原點、正方向、單位長度是數軸的三要素，三者缺一不可；⑶同一數軸上的單位長度要統一；⑷數軸的三要素都是根據實際需要規定的。
2.數軸上的點與有理數的關係
⑴所有的有理數都可以用數軸上的點來表示，正有理數可用原點右邊的點表示，負有理數可用原點左邊的點表示，0用原點表示。
⑵所有的有理數都可以用數軸上的點表示出來，但數軸上的點不都表示有理數，也就是說，有理數與數軸上的點不是一一對應關係。（如，數軸上的點π不是有理數）
3.利用數軸表示兩數大小
⑴在數軸上數的大小比較，右邊的數總比左邊的數大；
⑵正數都大於0，負數都小於0，正數大於負數；
⑶兩個負數比較，距離原點遠的數比距離原點近的數小。
4.數軸上特殊的最大（小）數
⑴最小的自然數是0，無最大的自然數；⑵最小的正整數是1，無最大的正整數；
⑶最大的負整數是-1，無最小的負整數
5.數軸上點的移動規律
根據點的移動，向左移動幾個單位長度則減去幾，向右移動幾個單位長度則加上幾，從而得到所需的點的位置。（注意移動方向）
數軸經常和絕對值一起出題，特別是判斷絕對值裡面的符號。對此，我們一般用賦值法，就是數軸上的字母，根據實際情況給他賦一個具體的數，這樣學生在解題時會感覺容易很多。
四、絕對值與相反數和倒數
（1）相反數
只有符號不同的兩個數叫做互為相反數，其中一個是另一個的相反數，0的相反數是0。
注意：⑴相反數是成對出現的；⑵相反數只有符號不同，若一個為正，則另一個為負；
⑶0的相反數是它本身；相反數為本身的數是0。
2.相反數的性質與判定
⑴任何數都有相反數，且只有一個；⑵0的相反數是0；
⑶互為相反數的兩數和為0，和為0的兩數互為相反數，即a，b互為相反數，則a+b=0
3.相反數的幾何意義
在數軸上與原點距離相等的兩點表示的兩個數，是互為相反數；互為相反數的兩個數，在數軸上的對應點（0除外）在原點兩旁，並且與原點的距離相等。0的相反數對應原點；原點表示0的相反數。說明：
在數軸上，表示互為相反數的兩個點關於原點對稱。
4.相反數的求法
⑴求一個數的相反數，只要在它的前面添上負號「-」即可求得（如：5的相反數是-5）；
⑵求多個數的和或差的相反數是，要用括號括起來再添「-」，然後化簡（如；5a+b的相反數是-（5a+b）。化簡得-5a-b）；
⑶求前面帶「-」的單個數，也應先用括號括起來再添「-」，然後化簡(如：-5的相反數是
-（-5），化簡得5)
5.相反數的表示方法
⑴一般地，數a 的相反數是-a，其中a是任意有理數，可以是正數、負數或0。
當a>0時，-a<0（正數的相反數是負數）
當a<0時，-a>0（負數的相反數是正數）
當a=0時，-a=0，（0的相反數是0）
6.多重符號的化簡 （同號為正，異號為負）
多重符號的化簡規律:「+」號的個數不影響化簡的結果，可以直接省略；「-」號的個數決定最後化簡結果；即：「-」的個數是奇數時，結果為負，「-」的個數是偶數時，結果為正。
（2）絕對值
⒈絕對值的幾何定義
一般地，數軸上表示數a的點與原點的距離叫做a的絕對值，記作|a|。
2.絕對值的代數定義
⑴一個正數的絕對值是它本身； ⑵一個負數的絕對值是它的相反數；⑶0的絕對值是0.
可用字母表示為：
可歸納為①：a≥0，<═> |a|=a （非負數的絕對值等於本身；絕對值等於本身的數是非負數。）
②a≤0，<═> |a|=-a （非正數的絕對值等於其相反數；絕對值等於其相反數的數是非正數。）
3.絕對值的性質
任何一個有理數的絕對值都是非負數，也就是說絕對值具有非負性。所以，a取任何有理數，都有|a|≥0。即⑴0的絕對值是0；絕對值是0的數是0.即：a=0 <═> |a|=0；
⑵一個數的絕對值是非負數，絕對值最小的數是0.即：|a|≥0；
⑶任何數的絕對值都不小於原數。即：|a|≥a；
⑷絕對值是相同正數的數有兩個，它們互為相反數。即：若|x|=a（a>0），則x=±a；
⑸互為相反數的兩數的絕對值相等。即：|-a|=|a|或若a+b=0，則|a|=|b|；
⑹絕對值相等的兩數相等或互為相反數。即：|a|=|b|，則a=b或a=-b；
⑺若幾個數的絕對值的和等於0，則這幾個數就同時為0。即|a|+|b|=0，則a=0且b=0。
（非負數的常用性質：若幾個非負數的和為0，則有且只有這幾個非負數同時為0）
4.有理數大小的比較
⑴利用數軸比較兩個數的大小：數軸上的兩個數相比較，左邊的總比右邊的小；
⑵利用絕對值比較兩個負數的大小：兩個負數比較大小，絕對值大的反而小；異號兩數比較大小，正數大於負數。
5.絕對值的化簡 （先判斷絕對值號內是正是負，）
①當a≥0時， |a|=a ； ②當a≤0時， |a|=-a
6.已知一個數的絕對值，求這個數
一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點到原點的距離，一般地，絕對值為同一個正數的有理數有兩個，它們互為相反數，絕對值為0的數是0，沒有絕對值為負數的數。
（3）倒數
乘積是1的兩個數互為倒數，其中一個數叫做另一個數的倒數，用式子表示為a·=1（a≠0），就是說a和互為倒數，即a是的倒數，是a的倒數。
注意：①0沒有倒數；若a、b互為倒數，則a×b=1；
②求假分數或真分數的倒數，只要把這個分數的分子、分母點顛倒位置即可；求帶分數的倒數時，先把帶分數化為假分數，再把分子、分母顛倒位置；
③正數的倒數是正數，負數的倒數是負數。（求一個數的倒數，不改變這個數的符號性質）；
④倒數等於它本身的數是1或-1,不包括0。
絕對值、相反數和倒數三者經常會和乘法的分配率出現一些綜合題，在這裡要特別有整體意思。（互為相反數的兩個數的和為0，互為倒數的兩個數的乘積為1.要有整體代換的思想。）
本身之迷
①倒數是它本身的數是±1 ②絕對值是它本身的數是非負數（正數和0）
③平方等於它本身的數是0，1 ④立方等於經本身的數是±1，0
⑤偶數次冪等於本身的數是0、1 ⑥奇數次冪等於本身的數是±1，0
⑦相反數是它本身的數是0
數之最①最小的正整數是1 ②最大的負整數是-1 ③絕對值最小的數是0
④平方最小的數是0 ⑤最小的非負數是0 ⑥最大的非正數0
⑦沒有最大和最小的有理數 ⑧沒有最大的正數和最小的負數
五、有理數加法 （先定符號，再定大小）
1.有理數的加法法則
⑴同號兩數相加，取相同的符號，並把絕對值相加；
⑵異號兩數相加，絕對值不相等時，取絕對值較大的加數的符號，並用較大的絕對值減去較小的絕對值；當兩個加數絕對值相等時，兩個加數互為相反數，和為零．
⑶互為相反數的兩數相加，和為零；
⑷一個數與零相加，仍得這個數。
2.有理數加法的運算律
⑴加法交換律：a+b=b+a
⑵加法結合律：(a+b)+c=a+(b+c)
在運用運算律時，一定要根據需要靈活運用，以達到化簡的目的，通常有下列規律：
①互為相反數的兩個數先相加——「相反數結合法」；
②符號相同的兩個數先相加——「同號結合法」；
③分母相同的數先相加——「同分母結合法」；
④幾個數相加得到整數，先相加——「湊整法」；
⑤整數與整數、小數與小數相加——「同形結合法」。
3.加法性質
一個數加正數後的和比原數大；加負數後的和比原數小；加0後的和等於原數。即：
⑴當b>0時，a+b>a ⑵當b<0時，a+b0 ⇔a>b;
（4） 做商法：a/b>1，b>0 ⇔a>b.
（5）利用絕對值比較大小
兩個正數比較：絕對值大的那個數大；
兩個負數比較：先算出它們的絕對值，絕對值大的反而小。
典例分析：
計程車司機小石某天下午營運全是在東西走向的人民大街上進行的，如果規定向東為正，向西為負，他這天下午行車裡程（單位：千米）如下：
＋15，－3，＋14，－11，＋10，－12，＋4，－15，＋16，－18.
（1） 將最後一名乘客送到目的地時，小石距下午出發地點的距離是多少千米？
（2） 若汽車耗油量為a升/千米，這天下午汽車耗油共多少升？
分析：（1）求已知10個數的和，即得小石距下午出發地點的距離；
（2）要求耗油量，需求出汽車一共走的路程，與所行的方向無關，即求出10個數的絕對值的和，然後乘以a升即可。
注意兩問的區別。
解：(1)（＋15）＋（－3）＋（＋14）＋（－11）＋（＋10）＋（－12）＋（＋4）＋（－15）＋（＋16）＋（－18）
=（15＋14＋10＋4＋16）＋【（－3）＋（－11）＋（－12）＋（－15）＋（－18）】
=59＋（－59）
=0（千米）
（2）=118（千米）
118×a=118a(升)
答：（1）將最後一名乘客送到目的地時，小石距下午出發地點的距離是0千米，即回到出發地點；
（2）若汽車耗油量為a升/千米，這天下午汽車耗油共118a升。
典例分析：
在有關乘方的計算中，最易出現錯誤的是「符號問題」，解決問題的關鍵是準確理解冪的概念，頭腦時刻保持清醒，不要隨意的增減和變換符號，更不要「跳步」，嚴格按照運演算法則進行。
解：典例分析：
1、用科學記數法表示56420000萬.
分析：需要注意以下兩點：①在一些資料中會出現「萬、億」需引起重視；②科學記數法有其表示的標準形式：，其中，n為正整數。
解：56420000萬=564200000000=
典例分析：
（1） 與原點距離等於4的點有幾個？其表示的數是什麼？
（2） 在數軸上點a表示的數是-3，與點a相距兩個單位的點表示的數是什麼？
分析：對於初學者，我們可以畫出數軸，從數軸上觀察，與原點距離等於4的點有兩個，它們分別位於原點的兩側，它們所表示的數是+4和-4.千萬不要忽略了原點左邊的點即表示-4的點。
這樣第（2）問迎刃而解。
解：（1）與原點距離等於4的點有兩個，它們表示的數是+4和-4.
（2）在數軸上點a表示的數是-3，與點a相距兩個單位的點表示的數是-1和-5.
3、-（-3）的相反數是______。（解析：先化簡-（-3），再去求出計算結果的相反數）
典例分析：
已知，求x,y的值。
分析：此題考查絕對值概念的運用，因為任何有理數a的絕對值都是非負數，即。
所以，而兩個非負數之和為0，則這兩個數均為0，所以可求出x,y的值。
解：∵ 又
∴，即∴
典例分析：
如果規定△表示一種運算，且a△b=，求：3△（4△）的值.
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