1樓：秋夕雪兒
(1)利用導數的符號判斷函式的增減性 利用導數的符號判斷函式的增減性，這是導數幾何意義在研究曲線變化規律時的一個應用，它充分體現了數形結合的思想． 一般地，在某個區間(a，b)內，如果f'(x)>0，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞增；如果f'(x)<0，那麼函式y=f(x)在這個區間內單調遞減． 如果在某個區間內恆有f'(x)=0，則f(x)是常數函式． 注意：在某個區間內，f'(x)>0是f(x)在此區間上為增函式的充分條件，而不是必要條件，如f(x)=x3在r內是增函式，但x=0時f'(x)=0。也就是說，如果已知f(x)為增函式，解題時就必須寫f'(x)≥0。
(2)求函式單調區間的步驟（1.定義最基礎求法2.複合函式單調性) ①確定f(x)的定義域 ②求導數 ③由（或）解出相應的x的範圍．當f'(x)>0時，f(x)在相應區間上是增函式；當f'(x)<0時，f(x)在相應區間上是減函式．
2．函式的極值
(1)函式的極值的判定 ①如果在兩側符號相同，則不是f(x)的極值點 ②如果在附近的左右側符號不同，那麼，是極大值或極小值。
3．求函式極值的步驟
①確定函式的定義域 ②求導數 ③在定義域內求出所有的駐點與導數不存在的點，即求方程及的所有實根 ④檢查在駐點左右的符號，如果左正右負，那麼f(x)在這個根處取得極大值；如果左負右正，那麼f(x)在這個根處取得極小值．
4．函式的最值
(1)如果f(x)在[a,b]上的最大值（或最小值）是在(a，b)內一點處取得的，顯然這個最大值（或最小值）同時是個極大值（或極小值），它是f(x)在(a，b)內所有的極大值（或極小值）中最大的（或最小的），但是最值也可能在[a，b]的端點a或b處取得，極值與最值是兩個不同的概念． (2)求f(x)在[a，b]上的最大值與最小值的步驟 ①求f(x)在(a，b)內的極值 ②將f(x)的各極值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
5．生活中的優化問題
生活中經常遇到求利潤最大、用料最省、效率最高等問題，這些問題稱為優化問題，優化問題也稱為最值問題．解決這些問題具有非常現實的意義．這些問題通常可以轉化為數學中的函式問題，進而轉化為求函式的最大（小）值問題．
定義設函式y=f(x)在點x0的某個鄰域n(x0,δ)內有定義，當自變數x在x0處有增量△x(設x0+△x∈n(x0,δ))，函式y=f(x)相應的增量為△y=f(x0+△x)-f(x0). 如果當△x→0時，函式的增量△y與自變數的增量△x之比的極限lim △y/△x=lim [f(x0+△x)-f(x0)]/△x存在，則稱這個極限值為f(x)在x0處的導數或變化率.通常可以記為f'(x0)或f'(x)|x=x0.
函式的可導性與導函式
一般地，假設一元函式 y=f(x )在 點x0的某個鄰域n(x0，δ)內有定義，當自變數取的增量δx=x-x0時，函式相應增量為 △y=f(x0+△x)-f(x0)，若函式增量△y與自變數增量△x之比當△x→0時的極限存在且有限，就說函式f(x)在x0點可導，並將這個極限稱之為f在x0點的導數或變化率。 「點動成線」：若函式f在區間i 的每一點都可導，便得到一個以i為定義域的新函式，記作 f(x)' 或y'，稱之為f的導函式，簡稱為導數.
導數的幾何意義
函式y=f（x）在x0點的導數f'（x0）的幾何意義：表示函式曲線在p0[x 導數的幾何意義
0，f（x0）] 點的切線斜率（導數的幾何意義是該函式曲線在這一點上的切線斜率）.
導數在科學上的應用
導數與物理，幾何，代數關係密切.在幾何中可求切線；在代數中可求瞬時變化率；在物理中可求速度，加速度. 導數亦名紀數、微商（微分中的概念），是由速度變化問題和曲線的切線問題（向量速度的方向）而抽象出來的數學概念.
又稱變化率. 如一輛汽車在10小時內走了 600千米，它的平均速度是60千米/小時.但在實際行駛過程中，是有快慢變化的，不都是60千米/小時.
為了較好地反映汽車在行駛過程中的快慢變化情況，可以縮短時間間隔，設汽車所在位置s與時間t的關係為 s=f（t） 那麼汽車在由時刻t0變到t1這段時間內的平均速度是 [f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 當 t1與t0很接近時，汽車行駛的快慢變化就不會很大，平均速度就能較好地反映汽車在t0 到 t1這段時間內的運動變化情況 . 自然就把當t1→t0時的極限lim[f(t1)-f(t0)]/[t1-t0] 作為汽車在時刻t0的瞬時速度，這就是通常所說的速度.這實際上是由平均速度類比到瞬時速度的過程 （如我們駕駛時的限「速」 指瞬時速度）
編輯本段導數是微積分中的重要概念
導數另一個定義：當x=x0時，f'(x0)是一個確定的數。這樣，當x變化時，f'(x)便是x的一個函式，我們稱他為f(x)的導函式（derivative function），簡稱導數）.
y=f(x)的導數有時也記作y'，即（如右圖） ： 物理學、幾何學、經濟學等學科中的一些重要概念都可以用導數來表示。如，導數可以表示運動物體的瞬時速度和加速度（就勻速直線加速度運動為例 位移關於時間的一階導數是瞬時速度 二階導數是加速度）、可以表示曲線在一點的斜率（向量速度的方向）、還可以表示經濟學中的邊際和彈性。
以上說的經典導數定義可以認為是反映區域性歐氏空間的函式變化。為了研究更一般的流形上的向量叢截面（比如切向量場）的變化，導數的概念被推廣為所謂的「聯絡」。有了聯絡，人們就可以研究大範圍的幾何問題，這是微分幾何與物理中最重要的基礎概念之一。
注意：1.f'(x)<0是f(x)為減函式的充分不必要條件，不是充要條件。
2．導數為零的點不一定是極值點。當函式為常值函式，沒有增減性，即沒有極值點。但導數為零。
（導數為零的點稱之為駐點，如果駐點兩側的導數的符號相反，則該點為極值點，否則為一般的駐點，如y=x^3中f『(0)=0，x=0的左右導數符號為正，該點為一般駐點。）
編輯本段求導數的方法
(1)利用定義求函式y=f(x)在x0處導數的步驟： ① 求函式的增量δy=f(x0+δx)-f(x0) ② 求平均變化率
③ 取極限，得導數。 (2)幾種常見函式的導數公式： ① c'=0(c為常數函式) ② (x^n)'= nx^(n-1) (n∈q*)；熟記1/x的導數 ③ (sinx)' = cosx (cosx)' = - sinx (tanx)'=1/(cosx)^2=(secx)^2=1+(tanx)^2 -(cotx)'=1/(sinx)^2=(cscx)^2=1+(cotx)^2 (secx)'=tanx·secx (cscx)'=-cotx·cscx (arcsinx)'=1/(1-x^2)^1/2 (arccosx)'=-1/(1-x^2)^1/2 (arctanx)'=1/(1+x^2) (arccotx)'=-1/(1+x^2) (arcsecx)'=1/(|x|(x^2-1)^1/2) (arccscx)'=-1/(|x|(x^2-1)^1/2) ④(sinhx)'=coshx (coshx)'=sinhx (tanhx)'=1/(coshx)^2=(sechx)^2 (coth)'=-1/(sinhx)^2=-(cschx)^2 (sechx)'=-tanhx·sechx (cschx)'=-cothx·cschx (arsinhx)'=1/(x^2+1)^1/2 (arcoshx)'=1/(x^2-1)^1/2 (artanhx)'=1/(x^2-1) (|x|<1) (arcothx)'=1/(x^2-1) (|x|>1) (arsechx)'=1/(x(1-x^2)^1/2) (arcschx)'=1/(x(1+x^2)^1/2) ⑤ (e^x)' = e^x (a^x)' = （a^x）lna （ln為自然對數） (inx)' = 1/x（ln為自然對數） (logax)' =x^(-1) /lna(a>0且a不等於1) (x^1/2)'=[2(x^1/2)]^(-1) (1/x)'=-x^(-2) 補充一下。
上面的公式是不可以代常數進去的，只能代函式，新學導數的人往往忽略這一點，造成歧義，要多加註意。關於三角求導「正正餘負」（三角包含三角函式，也包含反三角函式正指正弦、正切與正割。） (3)導數的四則運演算法則(和、差、積、商)：
①(u±v)'=u'±v' ②(uv)'=u'v+uv' ③(u/v)'=(u'v-uv')/ v^2 4．複合函式的導數： 複合函式對自變數的導數，等於已知函式對中間變數的導數，乘以中間變數對自變數的導數--稱為鏈式法則。 5．積分號下的求導法 d(∫f(x,t)dt φ(x),ψ(x))/dx=f(x,ψ(x))ψ'(x)-f(x,φ(x))φ'(x)+∫[f 'x(x,t)dt φ(x),ψ(x)] 導數是微積分的一個重要的支柱。
牛頓及萊布尼茨對此做出了卓越的貢獻！
編輯本段導數公式及證明
這裡將列舉五類基本初等函式的導數以及它們的推導過程（初等函式可由之運算來）： 基本導數公式
1.常函式（即常數）y=c(c為常數) y'=0 2.冪函式y=x^n,y'=nx^(n-1)(n∈q*) 熟記1/x的導數 3．指數函式(1)y=a^x,y'=a^xlna ；(2)熟記y=e^x y'=e^x唯一一個導函式為本身的函式 4．對數函式(1)y=logax,y'=1/xlna (a>0且a不等於1,x>0) ；熟記y=lnx,y'=1/x 5．正弦函式y=(sinx ）y'=cosx 6．餘弦函式y=（cosx） y'=-sinx 7．正切函式y=(tanx） y'=1/(cosx)^2 8．餘切函式y=（cotx） y'=-1/(sinx)^2 9．反正弦函式y=（arcsinx） y'=1/√1-x^2 10．反餘弦函式y=（arccosx） y'=-1/√1-x^2 11．反正切函式y=（arctanx） y'=1/(1+x^2) 12．反餘切函式y=（arccotx） y'=-1/(1+x^2) 為了便於記憶，有人整理出了以下口訣：
常為零，冪降次，對倒數（e為底時直接倒數，a為底時乘以lna），指不變（特別的，自然對數的指數函式完全不變，一般的指數函式須乘以lna）；正變餘，餘變正，切割方（切函式是相應割函式（切函式的倒數）的平方），割乘切，反分式 在推導的過程中有這幾個常見的公式需要用到： 1.y=f[g(x)],y'=f'[g(x)]·g'(x)『f'[g(x)]中g(x）看作整個變數，而g'(x)中把x看作變數』 2．y=u/v,y'=(u'v-uv')/v^2 3． 原函式與反函式導數關係（由三角函式導數推反三角函式的）：
y=f(x)的反函式是x=g(y），則有y'=1/x' 證：1.顯而易見，y=c是一條平行於x軸的直線，所以處處的切線都是平行於x的，故斜率為0。
用導數的定義做也是一樣的：y=c,δy=c-c=0,limδx→0δy/δx=0。 2．這個的推導暫且不證，因為如果根據導數的定義來推導的話就不能推廣到n為任意實數的一般情況，只能證其為整數q。
主要應用導數定義與n次方差公式。在得到 y=e^x y'=e^x和y=lnx y'=1/x這兩個結果後能用複合函式的求導給予證明。 3．y=a^x, δy=a^(x+δx)-a^x=a^x(a^δx-1) δy/δx=a^x(a^δx-1)/δx 如果直接令δx→0，是不能匯出導函式的，必須設一個輔助的函式β=a^δx-1通過換元進行計算。
由設的輔助函式可以知道：δx=loga(1+β)。 所以(a^δx-1)/δx=β/loga(1+β)=1/loga(1+β)^1/β 顯然，當δx→0時，β也是趨向於0的。
而limβ→0(1+β)^1/β=e,所以limβ→01/loga(1+β)^1/β=1/logae=lna。 把這個結果代入limδx→0δy/δx=limδx→0a^x(a^δx-1)/δx後得到limδx→0δy/δx=a^xlna。 可以知道，當a=e時有y=e^x y'=e^x。
4．y=logax δy=loga(x+δx)-logax=loga(x+δx)/x=loga[(1+δx/x)^x]/x δy/δx=loga[(1+δx/x)^(x/δx)]/x 因為當δx→0時，δx/x趨向於0而x/δx趨向於∞，所以limδx→0loga(1+δx/x)^(x/δx)=logae,所以有 limδx→0δy/δx=logae/x。 也可以進一步用換底公式 limδx→0δy/δx=logae/x=lne/(x*lna)=1/(x*lna)=(x*lna)^(-1) 可以知道，當a=e時有y=lnx y'=1/x。 這時可以進行y=x^n y'=nx^(n-1)的推導了。
因為y=x^n,所以y=e^ln(x^n)=e^nlnx, 所以y'=e^nlnx·(nlnx)'=x^n·n/x=nx^(n-1)。 5.y=sinx δy=sin(x+δx)-sinx=2cos(x+δx/2)sin(δx/2) δy/δx=2cos(x+δx/2)sin(δx/2)/δx=cos(x+δx/2)sin(δx/2)/(δx/2) 所以limδx→0δy/δx=limδx→0cos(x+δx/2)·limδx→0sin(δx/2)/(δx/2)=cosx 6．類似地，可以匯出y=cosx y'=-sinx。
7．y=tanx=sinx/cosx y'=[(sinx)'cosx-sinx(cosx)']/cos^2x=(cos^2x+sin^2x)/cos^2x=1/cos^2x 8．y=cotx=cosx/sinx y'=[(cosx)'sinx-cosx(sinx)']/sin^2x=-1/sin^2x 9．y=arcsinx x=siny x'=cosy y'=1/x'=1/cosy=1/√1-sin^2y=1/√1-x^2 10．y=arccosx x=cosy x'=-siny y'=1/x'=-1/siny=-1/√1-cos^2y=-1/√1-x^2 11．y=arctanx x=tany x'=1/cos^2y y'=1/x'=cos^2y=1/sec^2y=1/1+tan^2x=1/1+x^2 12．y=arccotx x=coty x'=-1/sin^2y y'=1/x'=-sin^2y=-1/csc^2y=-1/1+cot^2y=-1/1+x^2 另外在對雙曲函式shx,chx,thx等以及反雙曲函式arshx,archx,arthx等和其他較複雜的複合函式求導時通過查閱導數表和運用開頭的公式與 4．y=u土v,y'=u'土v' 5．y=uv,y=u'v+uv' 均能較快捷地求得結果。 對於y=x^n y'=nx^(n-1) ，y=a^x y'=a^xlna 有更直接的求導方法。 y=x^n 由指數函式定義可知，y>0 等式兩邊取自然對數 ln y=n*ln x 等式兩邊對x求導，注意y是y對x的複合函式 y' * (1/y)=n*(1/x) y'=n*y/x=n* x^n / x=n * x ^ (n-1) 冪函式同理可證 導數說白了它其實就是曲線一點斜率，函式值的變化率 上面說的分母趨於零，這是當然的了，但不要忘了分子也是可能趨於零的，所以兩者的比就有可能是某一個數，如果分子趨於某一個數，而不是零的話，那麼比值會很大，可以認為是無窮大,也就是我們所說的導數不存在。
x/x,若這裡讓x趨於零的話，分母是趨於零了，但它們的比值是1,所以極限為1. 建議先去搞懂什麼是極限。極限是一個可望不可及的概念，可以很接近它，但永遠到不了那個岸.
並且要認識到導數是一個比值。
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