1樓：沉默曉珺
證明：(ⅰ)易知12
，52 ，72 成等差數列，則a2 ，(5a)2 ，(7a)2 也成等差數列，
所以對任一正整數a，都存在正整數b=5a，c=7a(b＜c)，使得a2 ，b2 ，c2 成等差數列．
(ⅱ)若an
2 ，bn
2 ，**
2 成等差數列，則有bn
2 -an
2 =**
2 -bn
2 ，bn
2 ，**
2 ，bn
2 ，**
2 成等差數列。
證明以下命題：（1）對任一正整a，都存在整數b，c（b＜c），使得a2，b2，c2成等差數列．（2）存在無窮多
2樓：韓曉柒系列
解（1）考慮到結bai構特du徵，取特值12，zhi52，72滿足等差數列，只需取daob=5a，c=7a，對一切正整數回a均能成立．
（答2）證明：當an
2，bn
2，**
2成等差數列，則bn
2-an
2=**
2-bn
2，分解得：（bn+an）（bn-an）=（**+bn）（**-bn）
選取關於n的一個多項式，4n（n2-1）做兩種途徑的分解4n（n2-1）=（2n-2）（2n2+2n）=（2n2-2n）（2n+2）4n（n2-1）
對比目標式，構造an
＝n?2n?1bn
＝n+1**
＝n+2n?1
(n≥4)，由第一問結論得，等差數列成立，考察三角形邊長關係，可構成三角形的三邊．
下證互不相似．
任取正整數m，n，若△m，△n相似：則三邊對應成比例m?2m?1
n?2n?1
＝m+1n+1
＝m+2m?1
n+2n?1
，由比例的性質得：m?1
n?1＝m+1
n+1?m＝n，與約定不同的值矛盾，故互不相似．
求證：對任意一正整數a，都存在正整數b,c（b
3樓：商琦
當b=5a，c=7a時，
a^2，25a^2，49a^2
成等差 ，
不知道這樣說可不可以
4樓：匿名使用者
^^證明：bai取b=5a, c=7a, 則a^2 + c^2 = 50a^du2 =2b^2, 所以zhia^2,b^2,c^2成等差數dao列.
思路解析：版要使a^2,b^2,c^2成等差數列, 即權a^2 + c^2 = 2b^2, 所以(2b)^2 = (c-a)^2 + (a+c)^2.
因為x^2 + y^2 = z^2的所有整數解的形式為x=2kmn, y=k(m^2 - n^2), z=k(m^2 + n^2).
所以2b=k(m^2 + n^2), c-a=2kmn, c+a=k(m^2-n^2), 所以a=k(m^2-n^2-2mn)/2,
取k=a, m=3, n=1, 便可解得b=5a, c=7a.
當然m,n還有其它的取法，如m=17, n=7, 關鍵在於滿足(m^2-n^2-2mn)/2 = 1
證明以下命題： （1）對任一正整數，都存在正整數,()bcbc<，使得222,,abc成等差數列； （2）存在無窮多個 20
5樓：
(1)是比較簡單的.
只需要bai先考慮dua = 1的zhi
情況, 2b²-c² = 1, 可以得到一dao
組解: b = 5, c = 7.
於是對任意的a, 可取b = 5a, c = 7a, 此時a², 25a², 49a²成等差數列
內.(2)要求找到無容窮多組不對應成比例的a, b, c.
不妨取a = 1, 只要證明2y²-x² = 1有無窮多組正整數解.
這屬於pell方程, 有無窮多組正整數解是有定論的.
通解為: x+y√2 = (1+√2)^(2n+1) (即x, y分別為右端乘開合併後的係數, 如n = 1時即得y = 5, x = 7).
如果對這個結果不放心, 也可以這樣.
若x = c, y = b是2y²-x² = 1的一組正整數解, 可以驗證x = 3c+4b, y = 2c+3b也是一組正整數解.
這樣可依次迭代得到一列嚴格遞增的正整數解, 於是2y²-x² = 1有無窮多組正整數解.
求所有的正整數a,b,c(a
6樓：誰不到處逛
由題bai得
a+2≤b+1≤c,
a+b+1=pc,
a+c+1=qb,
b+c+1=ka,
所以dup=(a+b+1)/c≤(c-2+c-1+1)/c=2(c-1)/c<2,
所以p=1,
所以a+b+1=c,
所以a+a+b+1+1=qb,
所以q=(2a+b+2)/b≤(2b-2+b+2)/b=3
所以q=2或zhi3，
（一）當q=2時，b=2a+2，c=3a+3，2a+2+3a+3+1=ka,6=(k-5)a,
所以a=1,b=4,c=6,或a=2,b=6,c=9,或a=3,b=8,c=12,或a=6,b=14,c=21。dao
（二）當q=3時，b=a+1，c=2a+2，a+1+2a+2+1=ka,4=(k-3)a,
所以a=1,b=2,c=4,或a=2,b=3,c=6,或a=4,b=5,c=10。
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