1樓：士芮安
甲乙兩臺打麥機，甲機工作效率是乙機的2倍，先用甲機打完麥子的五分之三 打完麥子所需時間多11天，問分別用一臺機器打完全部麥子各需多少時間？
分析與解 首先列出題中有關的各種量：
(1)甲機工作效率是乙機的2倍；
(3)按(2)的打法所需時間比同時用兩臺機器打完全部麥子多11天的時間；
(4)求分別用一臺機器打完全部麥子所需的天數．
其次，為了找出等量關係列出方程，我們仍像例1那樣，從外延量和內涵量這兩種不同的量入手來分析思考．
第一，從外延量考慮等量關係．本題中的時間就是個外延量，因為外延量是可加的，那麼利用前面提到的找等量關係的第二條原則，注意到「全量=部分量之和」或其推論，只要找到同一個時間的兩種不同表示法，等量關係也就找出來了．為此，如果我們設x為甲機打完全部麥子所需要的時間(天數)，那麼2x就是乙機打完全部麥子所需要的時間(天
比同時用兩臺機器全部打完麥子所需時間多11天」可知，這一關鍵語給
這兩個表示式，表示的是同一時間，因此它們相等，這就得到如下方程
解這個方程，得到
x=15(天)……甲機打完全部麥子的天數，
那麼 2x=30(天)……乙機打完全部麥子的天數．
第二，從內涵量考慮等量關係．本題中甲乙兩機的工作效率就是個內涵量，如果設x為甲機打完全部麥子所需時間(天數)，則2x為乙機打完全部麥子所需時間(天數)，那麼
就是甲乙兩機每天共同的工作效率．如果再找出甲乙兩機每天工作效率的另一種表示法，那麼方程也就列出來了．
由於全部的工作量設為1，而甲乙兩機同時工作打完全部麥子的時間為
所以甲乙兩機每天共同的工作效率又可寫成
把甲乙兩機每天共同的工作效率用等號連線起來，就得到方程
解這個方程，就得到
x=15(天)……甲打完全部麥子的時間，
2x=30(天)……乙打完全部麥子的時間．
從外延量考慮等量關係時，注意到時間這個外延量的可加性，並利用了「全量=部分量之和」的原則．從內涵量考慮等量關係時，是利用了工作效率這個內涵量的等比表示法．
2樓：
給這一講的全部你,不單單要會做這題,要會做所有同類的題!!
第二十七講 列方程解應用問題中的量與等量
列方程解應用問題時,比較困難的一環常常是同學們不知如何著手去找等量關係.又由於應用問題型別繁多,等量關係千變萬化,什麼工程問題,行程問題,濃度問題,等等,如果每一種問題都來考查一下找等量關係的規律,這不僅太繁雜,而且羅列也不是真正的概括.那麼根據什麼原則來找出應用問題中的等量關係,列出方程呢
為此,我們必須先對"量"做個基本的分析和介紹,只有對量有了比較明確的認識,才便於瞭解"等量",那麼找等量關係也就有了依據.所謂"量"就是表現物體屬性的一個側面.例如拿一根金屬棒來說,為了弄清它的性狀,就要知道這根金屬棒的重量,長度,體積,密度,比重,**,等等,這些方面都是從一定的側面來表現物體不同屬性的,這就是所謂的量.
一般說來,常用的量基本上可以分為兩大類.例如,一群羊,一堆蛋等,因為它們具有天然的個別單位,所以處理這種量只要數一數它們的個數1,2,3,…就可以了.這種量我們稱它為分離量,分離量的特點是可數的.
另一種量,例如一根繩子的長度,一桶水的重量等,長度和重量這種量雖然不具有天然的個別單位可數,但這種量的基本特點是它們可以無限細分,因此我們可以選取人為的單位去度量它們.比如,度量長度,我們可以選用米或釐米作為長度單位;度量重量,我們可以選用千克或克等作為重量單位.取定了度量單位之後,就可以度量這種量的多少了.
我們稱這種量為連續量,它的一個基本特點是可以度量.
在連續量之中,例如長度,面積,體積,重量,時間等等,這些量既可以細分又可以廣延,我們稱這種量為外延量.連續量中的另一類是由兩種外延量之比產生出來的,用以表示"強度",這種量稱為內涵量.例如表示單位面積上承受多少壓力的"壓強"就是一個內涵量.
這是因為
它是由兩種外延量(壓力和麵積)之比得來的.
如果把內涵量再分類,又可以分為兩種,其中一種是由不同種外延量之比產生的量,我們稱它為度.例如
等等都是度.
另外一種內涵量是由兩個同種外延量之比得來的,我們稱它為率.例如
等等都是率.
這樣,可以把常見的量的分類歸納如下:
我們對量有了一定的瞭解之後,從量的種類入手,找等量關係,就有了可以遵循的基本原則和方法了.
第一,因為分離量不能和連續量相等,外延量不能和內涵量相等,度不能和率相等,因此,等量關係只能在同種量中尋找,即
分離量=分離量,外延量=外延量,
度=度,率=率.
第二,因為分離量和外延量是可加的,所以如果要確定分離量或外延量的某種相等關係,便可以利用"全量=部分量之和"(它的推理是"部分量=全量的一部分量","部分量之和=部分量之和",特例是"全量=全量")的原則.
第三,因為度和率是兩種外延量之比,如果要確定的是度或率的某種相等關係,只須找到同一個度或率的兩種不同表示式,然後用等號連線起來就可以列出方程了.我們把這種思考方法叫作度或率的等比表示法.
下面通過幾個例項來說明上述原則和方法的運用.
例1 設a,b兩地相距82千米(km),甲騎自行車由a向b駛去,9分鐘(min)後,乙騎自行車由b出發以每小時比甲快2千米的速度向a駛去,兩人在距b地40千米處相遇,問甲乙的速度各是多少
分析與解 首先我們列出題中的各種已知量和待求的量:
(1)a,b兩地的距離是82千米;
(2)甲乙兩人相向而行,甲比乙先行9分鐘;
(3)每小時乙比甲多走2千米;
(4)兩人相遇地點距b地40千米;
(5)求甲乙的速度.
其次,就要設一個適當的未知量,並把它看作"已知量",根據題中所給的條件,把已知量和未知量聯絡起來,找等量關係列方程.為此,我們可有不同的思考方法.
第一,可以從外延量考慮等量關係.本題中,時間,距離都是外延量.比如,我們考慮時間這個外延量,那麼如何找出本題中有關時間的一個等量關係呢 因為甲乙中途相遇,那麼自然要問甲由a出發到與乙相遇走了多少時間 乙由b出發到與甲相遇走了多少時間 這兩者又有什麼關係 聯絡已知條件,利用全量=部分量之和可知
甲由a出發到遇到乙的時間
=乙由b出發到遇到甲的時間+9分鐘,①
又考慮到
如果設甲的速度為x千米/小時(km/h),那麼乙的速度為(x+2)千
②的解是x=30千米(方程②的解法留給讀者),所以甲的速度是每小時行30千米,乙的速度是每小時32千米.
第二,也可以從內涵量找等量關係.在本題中,速度就是個內涵量,以速度來找等量關係,就是尋找甲的速度和乙的速度之間的關係問題.由已知條件可知,乙每小時比甲多走2千米,即
甲的速度=乙的速度-2,③
因此,如果設甲與乙相遇時正好走了x小時,那麼乙遇甲時走了
時.由③式,可知甲的速度的另一種表示法是乙的速度-2,即
乙的速度為32(千米/小時).
在以上兩種找等量關係的思考方法中,第一種方法,從外延量考慮,利用了"全量=部分量之和"的原則.第二種方法從內涵量考慮,注意到了"度"的等比表示法.
例2 甲乙兩臺打麥機,甲機工作效率是乙機的2倍,先用甲機打打完麥子所需時間多11天,問分別用一臺機器打完全部麥子各需多少時間
分析與解 首先列出題中有關的各種量:
(1)甲機工作效率是乙機的2倍;
(3)按(2)的打法所需時間比同時用兩臺機器打完全部麥子多11天的時間;
(4)求分別用一臺機器打完全部麥子所需的天數.
其次,為了找出等量關係列出方程,我們仍像例1那樣,從外延量和內涵量這兩種不同的量入手來分析思考.
第一,從外延量考慮等量關係.本題中的時間就是個外延量,因為外延量是可加的,那麼利用前面提到的找等量關係的第二條原則,注意到"全量=部分量之和"或其推論,只要找到同一個時間的兩種不同表示法,等量關係也就找出來了.為此,如果我們設x為甲機打完全部麥子所需要的時間(天數),那麼2x就是乙機打完全部麥子所需要的時間(天
比同時用兩臺機器全部打完麥子所需時間多11天"可知,這一關鍵語給
這兩個表示式,表示的是同一時間,因此它們相等,這就得到如下方程
解這個方程,得到
x=15(天)……甲機打完全部麥子的天數,
那麼2x=30(天)……乙機打完全部麥子的天數.
第二,從內涵量考慮等量關係.本題中甲乙兩機的工作效率就是個內涵量,如果設x為甲機打完全部麥子所需時間(天數),則2x為乙機打完全部麥子所需時間(天數),那麼
就是甲乙兩機每天共同的工作效率.如果再找出甲乙兩機每天工作效率的另一種表示法,那麼方程也就列出來了.
由於全部的工作量設為1,而甲乙兩機同時工作打完全部麥子的時間為
所以甲乙兩機每天共同的工作效率又可寫成
把甲乙兩機每天共同的工作效率用等號連線起來,就得到方程
解這個方程,就得到
x=15(天)……甲打完全部麥子的時間,
2x=30(天)……乙打完全部麥子的時間.
例2的分析和例1類似,從外延量考慮等量關係時,注意到時間這個外延量的可加性,並利用了"全量=部分量之和"的原則.從內涵量考慮等量關係時,是利用了工作效率這個內涵量的等比表示法.
例3 要在含50%酒精的800克(g)酒中,倒入含酒精85%的酒多少克,才能配成含酒精75%的酒
分析與解 本題涉及的量有溶液,溶質和濃度,其中溶液,溶質是外延量,濃度是內涵量,這三者之間的關係是
因此,在找等量關係時,既可以從外延量(溶液,溶質)來考慮,也可以從內涵量(濃度)來考慮.
第一,從外延量來考慮等量關係.由題意可知
(1)要求的混合溶液的重量=已知兩種溶液重量的和;
(2)要求的混合溶液中,溶質的重量=已知的兩種溶液中溶質重量的和.
所以無論從溶液還是溶質來考慮等量關係,都可以用"全量=部分量之和"的原則來確定等量關係.如果設x為倒入含酒精85%的酒的重量,那麼由(1)可知,混合溶液重量=800+x,再由(2)就可列出方程
解上述方程,就得到
x=2000(克).
第二,從內涵量考慮等量關係.由於本題中濃度是內涵量,因此只須找出混合溶液濃度的兩種不同表示式,即可列出方程.現在已知混合溶液的濃度是75%,所以再找出混合溶液濃度的另一種表示式就行了.
因為所以,只須找到混合溶液中的溶質和溶液的重量即可.為此,若設x為倒入的含酒精85%的酒的重量,則混合溶液重量=800+x.因為,甲種酒中含酒精的重量為50%×800,乙種酒中含酒精的重量為85%x,所以由(2)可知:
混合溶液中含酒精的重量為50%×800+85%x.所以,混合溶液濃度的另一種表示式為
上式表示式等於75%,於是得到方程
解這個方程,得到
x=2000(克).
綜上,例1,例2,例3表面上看是三類問題,其實是完全類似的.在這三例中所涉及的量有如下對應關係:
這樣,一般所說的行程問題,工程問題,濃度問題,從上面的分析解法可知是完全類似的.因為工作效率可以看成工作速度,而濃度表示的是強度,在這樣的意義下,它們自然可以看成是類似問題,因此,從外延量或內涵量來找等量關係列方程,也就有了統一的方法.
其實,廣而言之,如果應用題所涉及的量是內涵量,或由它轉化而
外延量=外延量÷內涵量),那麼,在表示某種強度的意義下,都可看成同類問題.當然各自的物理意義不同,因此,結合各個具體問題,作出具體分析,但是找等量關係列方程的基本思考方法卻是共同的.
練習二十七
1.解下列方程:
(4)75%(800+x)=50%×800+85%x;
2.兩條船分別從河的兩岸同時相對開出,它們的速度各自一定,第一次相遇在距河的一岸800米(m)處,然後繼續前進,各自到達對岸後立即折回,第二次相遇在距河的另一岸600米處,如果認定船到對岸反向航行時不耽誤時間,並且不考慮水流速度,問河寬有多少米
3.甲乙兩個小組合作完成一件工作,乙組單獨做1天后,由甲乙兩組合作了2天就完成了全部工作.問甲乙兩組單獨完成此項工作,各需多少天
4.已知甲種鹽水含鹽40%,乙種鹽水含鹽15%,現在要製成5千克(kg)含鹽25%的鹽水,試問需要甲乙兩種鹽水各多少千克
5.植樹節這一天,某校學生去植樹,如果每人植樹6株,只能完成植樹40株,求參加植樹的人數及原計劃植樹的株數.
數學難題一道
樓下指出了我的一些錯誤，我仔細看了一下，確實有些不對的地方，而且第三問的解答太複雜，因此我作出了改正，對第三問用了一個叫簡單的方法來解答。1 對f x y f x f y 取x y 0,有f x 0 取y x，有f x f x f 0 0,所以f x 為奇函式.2 設任意的x1,x2 r,且x10,...
求解一道幾何難題
由圖知 afd bfe ad be af fe 5 3 ae fe fe 5 3 ae fe 1 ae fe 8 3.1 又 abe gce ae eg be ec ae eg 3 2.2 2 1 得 fe eg 9 16 be ec 3 2 ec be 2 3 be ce be 3 2 3 5 3...
一道世界級難題，數學系天才來，一道世界級難題，數學系天才來
dv rsina 2 rda 是錯的h r 1 cosa 應該是dv r 2 r h 2 dh r 2 r 2 cosa 2 d r 1 cosa rsina 2 rsina da 積出來的結果就是v r 3 cosa 3 3 cosa 2 3 沒錯的！希望你自己好好積分，然後再說！樓主，紫色智天使...