1樓：匿名使用者
一種直觀但不太嚴格的證法是調整法.
首先容易證明: 在△abc的外接圓上, 設m為弧ac(在b的同側)的中點,
則s△amc ≥ s△abc, 且等號成立當且僅當b與m重合, 即ab = bc.
於是, 若一個內接於圓的n邊形不等邊, 考慮其不相等的一對鄰邊ab, bc.
若取b'為弧ac的中點, 則s△ab'c > s△abc, 將n邊形的頂點b換為b', 可知面積將增大.
這樣就證明了: 若圓內接n邊形不等邊, 則不能取得面積最大值.
不過嚴格來說離證明正n邊形面積最大還差一點, 因為並未證明面積最大值是存在的.
可以用較為細緻的逐次調整來嚴格化, 要略微麻煩點.
還有一種證法是用jensen不等式.
首先可以只考慮圓心在n邊形內部的情形.
因為n = 3時, 圓內接鈍角三角形的鈍角邊 ≤ 2r, 鈍角邊上的高 ≤ r.
故面積 ≤ r² < 3√3/4·r² = 圓內接正三角形面積.
n ≥ 4時, 圓內接正n邊形的面積 > 圓面積的一半 = 半圓面積 > 不包含圓心的n邊形面積.
設n邊形各邊所對的圓心角為x1, x2,..., xn.
有x1+x2+...+xn = 2π, 0 < xi < π (圓心在n邊形內部).
而由圓心與各邊構成的等腰三角形面積為1/2·r²sin(x1), 1/2·r²sin(x2),..., 1/2·r²sin(xn).
n邊形面積為1/2·r²·(sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn)).
由sin(x)在(0,π)上的凸性, 根據jensen不等式,
sin(x1)+sin(x2)+...+sin(xn) ≤ n·sin((x1+x2+...+xn)/n) = n·sin(2π/n).
等號成立當且僅當x1 = x2 = ... = xn = 2π/n.
即在正n邊形時取得面積最大值.
2樓：零午風尚
是的，古時候的圓周率就是根據切割正多邊形算出來的，變數越多，正多邊形越接近於一個圓。
望及時採納謝謝！
數學 證明：在圓的內接n邊形的面積中，以正n邊形的面積為最大。
3樓：匿名使用者
圓心與n邊形頂點相連構成n個小三角形圓心處角為a1-an。圓半徑r，三角形底長2*r*sin（a1/2），高是r*cos（a1/2）。三角形面積r^2sin（a1/2）cos（a1/2）=1/2*r^2*sin（a）。
n變形面積=1/2*r^2*（sin a1+sin a2+...+sin an）面積最大即所有角的正弦和最大，限制條件是所有角相加=2pi
4樓：黑馬250王子
解：當n趨向於無窮大時，該面積最大
5樓：
這個好像是公里啊，不需要證明的
表示圓內接正n邊形的面積s
6樓：麋鹿時往前走
由於π原本是正6x2ⁿ邊率，玄心距r是小於半徑r的無限無窮大，所以表示圓內接正n邊形的面積s是πr²、表示圓外切正n邊形的面積s是πr²。
7樓：匿名使用者
內接於圓的正六邊形是圓內接正六邊形。
8樓：匿名使用者
s=nr^2sin(360/n)/2
c語言程式設計：「編寫程式,求半徑為r的圓的內接正n邊形的面積.r和n由使用者輸入.」怎麼做啊？求解。。。。
9樓：星歿
#include
#include
#define pi 3.1415926
void main()
ps:這個是比較簡單點的了，執行一次就自動退出程式了。。。沒有加迴圈執行，而且對輸入的資料型別，範圍沒有進行判斷，所以要儘量減少輸入的錯誤。。樓主也可以自己加上，不是很難的。。
10樓：匿名使用者
這個很簡單，內接圓的邊確定之後，它的內角和就確定了，每個角的度數也確定了，r又確定，所以內接正邊形的面積也確定了，例如：內接5邊形，內角可以通過(n-2)*180,所以每個角就為（n-2）*90/n,面積就為：n*r^2sin(（n-2）*90/n)cos(（n-2）*90/n)。
演算法很簡單，自己琢磨一下吧，只要有程式設計基礎的實現應該不是問題。
求半徑是r的圓內接正n邊形的面積。
11樓：麋鹿時往前走
由於π原本是正6x2ⁿ邊率，玄心距r是小於半徑r的無限無窮大，所以表示圓內接正n邊形的面積s是πr²、表示圓外切正n邊形的面積s是πr²。
因為無限無窮無極限，所以無限等分產生無窮小的面積大於零。
您能說出1平方奈米的幾億分之一等於零嗎？答案肯定沒有最小的分數。
12樓：運洛犁若蘭
半徑是r的圓內接正n邊形的面積可以看作n個三角形面積的和
每個三角形為腰長r，夾角2π/n的等腰三角形，面積為r²sin(2π/n)/2
所以n變形面積為nr²sin(2π/n)/2
13樓：麼吟淦雙玉
我巨無語，把那n邊形分成n個三角形，再用求三角形面積的公式。
三角形面積s1=(r^2)*sin(360/n)*(1/2)總面積s=s1*n
你數學咋學的？貌似咱倆從小學都是一個數學老師……
已知一個圓的半徑r，求這個圓的內接正n邊形的周長和麵積能附個圖嗎
14樓：
網上一大堆錯的，這應該是初中題
周長l=2nr*sin（180/n）°，絕對不要寫成180°/n，而是(180/n)°，粗心大意的人往往第一步就寫成xx°/n，後面不用看了，一分拿不到，白算半天。
面積s=n/2*r^2*sin（180/n)°*cos(180/n)°。
sina*cosa=1/2sin（2a），所以還可以化簡，s=n/4*r^2*sin（360/n）°
但是初中要不要化簡，到底是初中的還是高中的？我給忘了。
15樓：大漠刀郎闖天涯
如圖所示，o為原點，a b為正n邊形的一個邊上的兩點，o'為垂足。因為是正n邊形，所以∠aob為π/n，∠aoo'為π/2n，於是s△aob=1/2*ab*oo'=1/2*(2*oasinaoo')*(oacosaoo')=r*sin（π/2n）*r*cos（π/2n）=1/2[r^2sin（π/n)]，而正n邊形是由n個三角形組成，所以sn=n/2[r^2sin（π/n）
同理，ln=n*lab=n*(2*oasinaoo')=n*（2*rsin（π/2n））=2nr*sin（π/2n）
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