1樓:上海皮皮龜
積分割槽域關於x對稱,積分函式是x的奇函式(對任意固定y)
格林公式題,為什麼等於0?
2樓:尹六六老師
積分割槽域(圓域)關於y軸對稱吧?
被積函式xy是關於x的奇函式吧?
這不結了,二重積分等於0啊!
3樓:努力的
對稱性,xy關於x是奇函式,積分割槽域關於y軸對稱,積分為0
或者說,xy關於y是奇函式,積分割槽域關於x軸對稱,積分為0
高數格林公式例題,有步驟,但還是有地方不懂。第二題,為什麼在ab和bo上的積分就直接為零了?
4樓:匿名使用者
在ab上,dy = 0,則積分為零
在bo上,x = 0,則積分為零
為什麼第一個可以直接用格林公式等於0,而第二個不是
5樓:bluesky黑影
因為第二個區域包含原點,而原點使得p與q無意義,所以不能直接用格林公式
高數 格林公式,為什麼紅線那裡相減等於0?
6樓:匿名使用者
因為,對相減的兩個曲線積分用格林公式,
化成一個在陰影域d1上的二重積分=0。
該二重積分的被積函式q'x-p'y=0。
在用格林公式算曲線積分時什麼時候可以直接得0? 還有,是否所有的對座標的曲線積分都可以用格林公式做?
7樓:匿名使用者
當曲線l圍成的區域為閉區域時,就可以運用格林公式。
格林公式的值不一定是零,但是當∂p/∂y = ∂q/∂x時,曲線積分的結果與路徑無關
那麼二重積分的值就是零。
其實三題都是用格林公式,二重積分值都是零。
只是第(2)題的曲線本身能圍成閉區域,而第(3)(4)題需要新增直線才能圍成閉區域。
第(2)題的曲線是星形線,是個合區域,所以可直接用格林公式。
∮l pdx + qdy = ± ∫∫d [ ∂q/∂x - ∂p/∂y ] dxdy = 0
第(3)題只是一個弧線,不能圍成合區域,所以要使用格林公式
要新增線段y = 0和x = π/2,所以這三條曲線使區域閉合
並且取正向(逆時針)時,格林公式取 + 號,負向(順時針)時,格林公式取 - 號
然後用格林公式的二重積分結果減掉該兩條直線的曲線積分,就得原式的結果。
曲線l:x = (π/2)y2,(x,y):(0,0) → (π/2,1),順時針
新增l1:y = 0,dy = 0,x:π/2 → 0,順時針
新增l2:x = π/2,dx = 0,y:1 → 0,順時針
∮(l+l1+l2) pdx + qdy = - ∫∫d [ ∂q/∂x - ∂p/∂y ] dxdy = 0
∫l1 pdx + qdy = ∫(π/2,0) 0 dx = 0
∫l2 pdx + qdy = ∫(1→0) [ 1 - 2y + 3(π/2)2y2 ] dy = - π2/4
既然三個線段圍成閉區域,它們的積分也同樣道理:
l+l1+l2 = 閉曲線(l+l1+l2)
∫l + ∫l1 + ∫l2 = ∮(l+l1+l2)
∫l = ∮(l+l1+l2) - ∫l1 - ∫l2
即∫l pdx + qdy = 0 - 0 - (- π2/4) = π2/4
第(4)題跟第(3)題同樣原理,1/4個圓弧不足以圍成閉區域,於是新增線段y = 0和x = 1
那麼就可以應用格林公式了。
曲線l:y = √(2x - x2),(x,y):(0,0) → (1,1),順時針
直線l1:y = 0,dy = 0,x:1 → 0,順時針
直線l2:x = 1,dx = 0,y:1 → 0,順時針
∮(l+l1+l2) pdx + qdy = - ∫∫d [ ∂q/∂x - ∂p/∂y ] dxdy = 0
∫l1 pdx + qdy = ∫(1→0) x2 dx = - 1/3
∫l2 pdx + qdy = ∫(1→0) - (1 + sin2y) dy = 3/2 - (1/4)sin(2)
∫l + ∫l1 + ∫l2 = ∮(l+l1+l2)
∫l = 0 - (- 1/3) - [3/2 - (1/4)sin(2)] = - 7/6 + (1/4)sin(2)
我這個方法跟你書上那個的道理是一樣的。
∫l(順時針) + ∫l1(順時針) + ∫l2(順時針) = - ∮(l+l1+l2)(順時針) = 0
∫l(順時針) = 0 - ∫l1(順時針) - ∫l2(順時針)
∫l(順時針) = ∫l1(逆時針) + ∫l2(逆時針)
通常都選擇用直線跟l繞成閉區域,因為直線的導數能簡單求出,容易簡化。
另外,若被積函式上有奇點,就得繞開奇點部分,挖一個足夠小的圓形或橢圓形,然後用格林公式減掉該部分的積分。
關於格林公式的,這個題目解題的時候,oa+ab+bo為什麼可以直接略為oa,dy為什麼可以直接變成dx?
8樓:匿名使用者
首先這道題中的
ab解析式:y=1(0<=x<=1);bo解析式:x=0(0<=y<=1);,所以在直線ab和直線bo上的對於y的積分都是0,
oa解析式
:y=x(0<=x<=1);所以可以直接把被積函式xe^(y^2)中的x換做y,然後根據積分與積分變數無關,可以把積分裡面的y都換成x就得到了題中的步驟和答案。
9樓:紫氣西來
因為在ab和bo上積都是零,注意是對dy積,所以ab上y沒變,而ob上x=0,在oa上x=y呀
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