1樓：demon陌
根據公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向導數是梯度在不同方向上的投影。這樣就很好的說明了梯度和方向導數的關係而且為什麼方向導數的最大值是梯度的模。
若曲線c 光滑時，在點m處函式u可微，函式u在點m處沿c方向的方向導數就等於函式u在點m處沿c的切線方向（c正向一側）的方向導數。
在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的「變化率」，由於自變數多了一個，情況就要複雜的多。
在 xoy 平面內，當動點由 p(x0,y0) 沿不同方向變化時，函式 f(x,y) 的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。
2樓：匿名使用者
很簡單，這個問題
是一個表達方式的問題。當遇到這個問題時看似方向導數沿著梯度的方向的導數與梯度的模無關，實則是對方向導數與梯度的關係理解不夠深刻。
首先，方向導數是沿著某一方向的導數，是梯度與這一方向的單位方向向量的點積，那麼，問題就轉化到點積的表達上面了。在這裡，可能會問怎麼方向導數是梯度與單位方向向量的點積，這個問題是一個物理的做功問題，物理上力沿著某一特定方向自動，在除這一方向以外的方向上，做功的速率是多少？這個也最不就是求方向導數嗎。
現在問題轉化到點積的表達，點積的表達有幾何解釋和代數解釋。幾何解釋出現餘弦函式，為兩個向量的模乘以它們的角度的餘弦值；代數解釋是向量的座標對應相乘再相加。
現在再回到方向導數與梯度的關係上面，梯度乘以特定方向的單位方向向量為沿著這一特定方向的方向導數，當這兩個向量的夾角為0度時，也就是梯度沿著梯度的方向的方向導數，此時的單位方向向量是找不到的，但是它的模是可以確定的，至此，在此種情況下，會選擇用點積的幾何解釋來進行表達：即兩個向量的模乘以向量夾角的餘弦值。而沿著梯度方向的方向導數，夾角為0，單位方向向量模長為1，自然沿著梯度方向的方向導數就是梯度的模，也是最大的方向導數。
除此之外，當特定方向的單位方向向量與梯度的夾角可以確認，而且兩個向量的座標也可以確認，一般來說會選擇用點積的代數解釋來進行表達，即：兩個向量的座標，對應相乘再相加。這樣避免了求向量的夾角，但非要用角度來進行表達也是可以的，就是角度的求取會增加計算的步驟。
3樓：許華斌
第七節 方向導數與梯度
教學目的：掌握方向導數的定義和求法；掌握梯度的定義、求法及其與等高線的關係.
教學重點：方向導數與梯度的求法.
教學難點：方向角的確定.
教學內容：
一、方向導數現在我們來討論函式在一點沿某一方向的變化率問題.
定義 設函式在點
的某一鄰域內有定義.自點引射線.設軸正向到射線的轉角為（逆時針方向：
0；順時針方向：
0），並設＇(+△,+△)為上的另一點且＇∈.我們考慮函式的增量(+△,+△)－
與、＇兩點間的距離的比值.當＇沿著趨於時，如果這個比的極限存在，則稱這極限為函式
在點沿方向的方向導數，記作，即
(1)從定義可知，當函式
在點的偏導數
x、y存在時，函式在點沿著軸正向
=，軸正向=的方向導數存在且其值依次為
x、y，函式
在點沿軸負向=，軸負向=的方向導數也存在且其值依次為-
x、-y.
關於方向導數的存在及計算，我們有下面的定理.
定理 如果函式在點
是可微分的，那末函式在該點沿任一方向的方向導數都存在，且有
(2)其中為軸到方向的轉角.
證 根據函式在點
可微分的假定，函式的增量可以表達為
兩邊各除以，得到
所以這就證明了方向導數存在且其值為
例8-26 求函式=
在點處沿從點
到點方向的方向導數.
解 這裡方向即向量=的方向，因此軸到方向的轉角，
因為在點，,.故所求方向導數
例8-27 設由原點到點的向徑為，軸到的轉角為，軸到射線的轉角為，求，其中=
.解 因為
.所以由例8-26可知，當時，,即沿著向徑本身方向的方向導數為1;而當時，, 即沿著與向徑垂直方向的方向導數為零.
對於三元函式=來說，它在空間一點
沿著方向(設方向的方向角為的方向導數，同樣可以定義為
(3)其中，△=
,△=,△=
.同樣可以證明，如果函式在所考慮的點處可微分，那末函式在該點沿著方向的方向導數為
二、 梯度1.梯度的定義
與方向導數有關聯的一個概念是函式的梯度.
定義 設函式在平面區域內具有一階連續偏導數，則對於每一點
，都可定出一個向量
這向量稱為函式=在點
的梯度，記作
，即=如果設是與方向同方向的單位向量，則由方向導數的計算公式可知
這裡，(
＾，e)表示向量
與的夾角.由此可以看出，就是梯度在射線上的投影，當方向與梯度的方向一致時，有
(＾，) 1，
從而有最大值.所以沿梯度方向的方向導數達到最大值，也就是說,梯度的方向是函式
在這點增長最快的方向.因此，我們可以得到如下結論:
函式在某點的梯度是這樣一個向量，它的方向與取得最大方向導數的方向一致，而它的模為方向導數的最大值.
由梯度的定義可知，梯度的模為
當不為零時，那末軸到梯度的轉角的正切為
我們知道，一般說來二元函式在幾何上表示一個曲面，這曲面被平面z=c(c是常數)所截得的曲線的方程為
這條曲線在面上的投影是一條平面曲線（圖8―10），它在平面直角座標系中的方程為
對於曲線上的一切點，已給函式的函式值都是，所以我們稱平面曲線為函式的等高線.
由於等高線上任一點處的法線的斜率為
,所以梯度
為等高線上點處的法向量，因此我們可得到梯度與等高線的下述關係：函式在點
的梯度的方向與過點的等高線在這點的法線的一個方向相同，且從數值較低的等高線指向數值較高的等高線（圖8―10），而梯度的模等於函式在這個法線方向的方向導數.這個法線方向就是方向導數取得最大值的方向.
例8-28
求解 這裡
因為所以3.數量場與向量場
如果對於空間區域內的任一點，都有一個確定的數量，則稱在這空間區域內確定了一個數量場（例如溫度場、密度場）等.一個數量場可用一個數量函式來確定.如果與點相對應的是一個向量，則稱在這空間區域內確定了一個向量場（例如力場，速度場等）.
一個向量場可用一個向量函式來確定，而
,其中是點的數量函式.
利用場的概念，我們可以說向量函式
確定了一個向量場——梯度場，它是由數量場產生的.通常稱函式為這個向量場的勢.而這個向量場又稱為勢場.必須注意，任意一個向量場不一定是勢場，因為它不一定是某個數量函式的梯度場.
小結：本節主要研究函式在一點沿某一方向的變化率問題，給出方向導數的定義及其相關的梯度的定義，推匯出方向導數和梯度的求法，並通過梯度的意義介紹了等高線、等量面、數量場與向量場等概念.
作業：1．求函式在點（1，2）處沿從點（1，2）到點（2，2＋）的方向的方向導數．
2．求函式在拋物線上點（1，2）處，沿著這拋物線在該點處偏向x軸正向的切線方向的方向導數．
3．求函式在點處沿曲線在這點的內法線方向的方向導數．
4樓：洪水衝不破眼堤
你仔細看看書裡的解析，因為他們求得時候其實應該有個cosa.當cosa等於1 的時候就是最大值也剛好是梯度的摸，如果是-1.就是最小值
為什麼梯度的模就是沿這個方向的方向導數
5樓：匿名使用者
細想了一下覺得可以這樣解釋：根據公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向導數是梯度在不同方向上的投影。
這樣就很好的說明了梯度和方向導數的關係而且為什麼方向導數的最大值是梯度的模。
為什麼方向導數取最大值的方向是梯度？大神解答
6樓：護具骸骨
根據公式∂f/∂l=(∂f/∂x,∂f/∂y)(cosα，sinα)=|gradf(x,y)|cosθ，方向導數是梯度在不同方向上的投影。這樣就很好的說明了梯度和方向導數的關係而且為什麼方向導數的最大值是梯度的模。
若曲線c 光滑時，在點m處函式u可微，函式u在點m處沿c方向的方向導數就等於函式u在點m處沿c的切線方向（c正向一側）的方向導數。
在一元函式中，導數就是函式的變化率。對於二元函式研究它的「變化率」，由於自變數多了一個，情況就要複雜的多。
在 xoy 平面內，當動點由 p(x0,y0) 沿不同方向變化時，函式 f(x,y) 的變化快慢一般來說是不同的，因此就需要研究 f(x,y) 在 (x0,y0) 點處沿不同方向的變化率。
表示固定面上一點的切線斜率。
偏導數 f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。
高階偏導數：如果二元函式 z=f(x,y) 的偏導數 f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函式的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函式的二階偏導數有四個：
f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
注意：f"xy與f"yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函式再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。
當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。
7樓：
函式f(x1，x2，，xn)在點x0沿方向u=(u1，u2，，un)的方向導數為
af/ax1*u1+af/ax2*u2++af/axn*un=，其中df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示內積。
由cauchy_schwartz不等式知道當且僅當u和df(x0)同方向時，內積最大，
反方向時內積最小;
因此u=df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最大;
u=-df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最小。
梯度的模是方向導數的最大值
8樓：王科律師
函式f(x1，x2，...，xn)在點x0沿方向u=(u1，u2，...，un)的方向導數為
af/ax1*u1+af/ax2*u2+...+af/axn*un=，
其中df(x0)就是f在x0的梯度向量，<>表示內積。
由cauchy_schwartz不等式知道當且僅當u和df(x0)同方向時，內積最大，
反方向時內積最小;
因此u=df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最大;
u=-df(x0)/||df(x0)||時，方向導數最小。
高數方向導數和梯度的問題，高數方向導數與梯度？
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