1樓：匿名使用者
基本理論
基本概念：
給定一個正整數p，任意一個整數n，一定存在等式 n = kp + r ；
其中k、r是整數，且 0 ≤ r < p，稱呼k為n除以p的商，r為n除以p的餘數。
對於正整數p和整數a,b，定義如下運算：
取模運算：a % p（或a mod p），表示a除以p的餘數。
模p加法：(a + b) % p ，其結果是a+b算術和除以p的餘數，也就是說，(a+b) = kp +r，則(a + b) % p = r。
模p減法：(a-b) % p ，其結果是a-b算術差除以p的餘數。
模p乘法：(a * b) % p，其結果是 a * b算術乘法除以p的餘數。
說明：1. 同餘式：正整數a，b對p取模，它們的餘數相同，記做 a ≡ b % p或者a ≡ b (mod p)。
2. n % p得到結果的正負由被除數n決定,與p無關。例如：7%4 = 3， -7%4 = -3， 7%-4 = 3， -7%-4 = -3。
基本性質
（1）若p|(a-b)，則a≡b (% p)。例如 11 ≡ 4 (% 7)， 18 ≡ 4(% 7)
（2）(a % p)=(b % p)意味a≡b (% p)
（3）對稱性：a≡b (% p)等價於b≡a (% p)
（4）傳遞性：若a≡b (% p)且b≡c (% p) ，則a≡c (% p)
運算規則
模運算與基本四則運算有些相似，但是除法例外。其規則如下：
(a + b) % p = (a % p + b % p) % p （1）
(a - b) % p = (a % p - b % p) % p （2）
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p （3）
ab % p = ((a % p)b) % p （4）
結合率： ((a+b) % p + c) % p = (a + (b+c) % p) % p （5）
((a*b) % p * c)% p = (a * (b*c) % p) % p （6）
交換率： (a + b) % p = (b+a) % p （7）
(a * b) % p = (b * a) % p （8）
分配率： ((a +b)% p * c) % p = ((a * c) % p + (b * c) % p) % p （9）
重要定理：若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a + c) ≡ (b + c) (%p)；（10）
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有(a * c) ≡ (b * c) (%p)；（11）
若a≡b (% p)，c≡d (% p)，則 (a + c) ≡ (b + d) (%p)，(a - c) ≡ (b - d) (%p)，
(a * c) ≡ (b * d) (%p)，(a / c) ≡ (b / d) (%p)； （12）
若a≡b (% p)，則對於任意的c，都有ac≡ bc (%p)； （13）
編輯本段
基本應用
1.判別奇偶數
奇偶數的判別是模運算最基本的應用，也非常簡單。易知一個整數n對2取模，如果餘數為0，則表示n為偶數，否則n為奇數。
c++實現功能函式：
/*函式名：iseven
函式功能：判別整數n的奇偶性。能被2整除為偶數，否則為奇數
輸入值：int n，整數n
返回值：bool，若整數n是偶數，返回true，否則返回false
*/bool iseven(int n)
2.判別素數
一個數，如果只有1和它本身兩個因數，這樣的數叫做質數（或素數）。例如 2，3，5，7 是質數，而 4，6，8，9 則不是，後者稱為合成數或合數。
判斷某個自然數是否是素數最常用的方法就是試除法：用比該自然數的平方根小的正整數去除這個自然數，若該自然數能被整除，則說明其非素數。
c++實現功能函式：
/*函式名：isprime
函式功能：判別自然數n是否為素數。
輸入值：int n，自然數n
返回值：bool，若自然數n是素數，返回true，否則返回false
*/bool isprime(unsigned int n)
}return true;
}3. 最大公約數
求最大公約數最常見的方法是歐幾里德演算法（又稱輾轉相除法），其計算原理依賴於定理：***(a,b) = ***(b,a mod b)
證明：a可以表示成a = kb + r，則r = a mod b
假設d是a,b的一個公約數，則有d|a, d|b，而r = a - kb，因此d|r
因此d是(b,a mod b)的公約數
假設d 是(b,a mod b)的公約數，則d | b , d |r ，但是a = kb +r
因此d也是(a,b)的公約數
因此(a,b)和(b,a mod b)的公約數是一樣的，其最大公約數也必然相等，得證。
c++實現功能函式：
/*函式功能：利用歐幾里德演算法，採用遞迴方式，求兩個自然數的最大公約數
函式名：***
輸入值：unsigned int a，自然數a
unsigned int b，自然數b
返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數
*/unsigned int ***(unsigned int a, unsigned int b)
/*函式功能：利用歐幾里德演算法，採用迭代方式，求兩個自然數的最大公約數 函式名：***
輸入值：unsigned int a，自然數a
unsigned int b，自然數b
返回值：unsigned int，兩個自然數的最大公約數
*/unsigned int ***(unsigned int a, unsigned int b)
return a;
}4．模冪運算
利用模運算的運算規則，我們可以使某些計算得到簡化。例如，我們想知道3333^5555的末位是什麼。很明顯不可能直接把3333^5555的結果計算出來，那樣太大了。
但我們想要確定的是3333^5555（%10），所以問題就簡化了。
根據運算規則（4）ab % p = ((a % p)b) % p ，我們知道3333^5555（%10）= 3^5555（%10）。由於3^4 = 81，所以3^4（%10）= 1。
根據運算規則（3） (a * b) % p = (a % p * b % p) % p ，由於5555 = 4 * 1388 + 3，我們得到3^5555（%10）=（3^(4*1388) * 3^3）（%10）=（（3^(4*1388)（%10）* 3^3（%10））（%10）
=（1 * 7）（%10）= 7。
計算完畢。
利用這些規則我們可以有效地計算x^n(% p)。簡單的演算法是將result初始化為1，然後重複將result乘以x，每次乘法之後應用%運算子（這樣使得result的值變小，以免溢位），執行n次相乘後，result就是我們要找的答案。
這樣對於較小的n值來說，實現是合理的，但是當n的值很大時，需要計算很長時間，是不切實際的。下面的結論可以得到一種更好的演算法。
如果n是偶數，那麼x^n =（x*x）^[n/2]；
如果n是奇數，那麼x^n = x*x^(n-1) = x *（x*x）^[n/2]；
其中[n]是指小於或等於n的最大整數。
c++實現功能函式：
/*函式功能：利用模運算規則，採用遞迴方式，計算x^n(% p)
函式名：powermod
輸入值：unsigned int x，底數x
unsigned int n，指數n
unsigned int p，模p
返回值：unsigned int，x^n(% p)的結果
*/unsigned int powermod(unsigned int x, unsigned int n, unsigned int p)
unsigned int temp = powermod((x * x)%p, n/2, p); //遞迴計算（x*x）^[n/2]
if ((n & 1) != 0) //判斷n的奇偶性
return temp;
}5.《孫子問題(中國剩餘定理)》
在我國古代算書《孫子算經》中有這樣一個問題：
「今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二，問物幾何？」意思是，「一個數除以3餘2，除以5餘3，除以7餘2.求適合這個條件的最小數。」
這個問題稱為「孫子問題」.關於孫子問題的一般解法，國際上稱為「中國剩餘定理」.
我國古代學者早就研究過這個問題。例如我國明朝數學家程大位在他著的《演算法統宗》（2023年）中就用四句很通俗的口訣暗示了此題的解法：
三人同行七十稀，五樹梅花甘一枝，七子團圓正半月，除百零五便得知。
"正半月"暗指15。"除百零五"的原意是，當所得的數比105大時，就105、105地往下減，使之小於105；這相當於用105去除，求出餘數。
這四句口訣暗示的意思是：當除數分別是3、5、7時，用70乘以用3除的餘數，用21乘以用5除的餘數，用15乘以用7除的餘數，然後把這三個乘積相加。加得的結果如果比105大，就除以105，所得的餘數就是滿足題目要求的最小正整數解。
根據剩餘定理，我把此種解法推廣到有n(n為自然數）個除數對應n個餘數，求最小被除數的情況。輸入n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，計算機將輸出最小被除數。
c++實現功能函式：
/*函式名：residuetheorem
函式功能：運用剩餘定理，解決推廣了的孫子問題。通過給定n個除數（除數不能互相整除）和對應的餘數，返回最小被除數
輸入值：unsigned int devisor，儲存了n個除數的陣列
unsigned int remainder，儲存了n個餘數的陣列
int length，陣列的長度
返回值：unsigned int， 最小被除數
*/unsigned int residuetheorem(const unsigned int devisor, const unsigned int remainder, int length)
else if (proclaimedinwriting[i] >= 'a' && proclaimedinwriting[i] <= 'z')
else
}cryptograph[len] = '\0';}/*
函式功能：使用凱撒密碼原理，對密文進行解密，返回明文 函式名：decode
輸入值：char proclaimedinwriting，用來儲存明文的字串
const char cryptograph，儲存了密文的字串
int keyey，解密密匙，正數表示前移，負數表示後移（與加密相反）
返回值：無返回值，但是要將新的明文字串返回
*/void decode(const char cryptograph, char proclaimedinwriting, int key)
else if (cryptograph[i] >= 'a' && cryptograph[i] <= 'z')
else
}proclaimedinwriting[len] = '\0';}
沙漏原理是怎麼回事啊，沙漏原理是怎麼回事啊？
沙漏原理就是說沙漏定理即八字定理，有兩個相似三角形組成，abc和 xyz，面積分別為s1和s2，s1 s2 ab bc xy yz。用 s 1 2 ab sinc，容易推導 沙漏也叫做沙鍾，是一種測量時間的裝置。西方沙漏由兩個玻璃球和一個狹窄的連線管道組成的。通過充滿了沙子的玻璃球從上面穿過狹窄的管...
關於c語言取餘與取模運算的問題求詳細解釋
它不是說得復 很詳細了麼,向負無 制窮方向 舍入 floor 函式 又稱為地板函式,與之相對還有天花板函式 往小方向取整,即向負無窮方向取整 8 3 2.67的地板為2 即模為2 8 3 2.67的地板為 3 即模為 3 c語言中的 取餘 是什麼意思?要詳細 其實求餘襲運算可以看成 a b a in...
在C語言中,關於取餘的，若 9 2的運算結果是啥 幫忙解答一下，謝謝
咱們用的c語言，一般都是c89的 我翻看了下，那本k r的那本書，它主要就是介紹c89的，上面是這麼寫的 a b a b，前者取商，後者求餘 如果b為0，結果未定義，否則 a b b a b 總是會等於 a 如果a，b都是非負的，那麼a b結果非負，且小於b，也就是 9 2 結果一定會是 1 除此之...