1樓：
斐波那契數列（fibonacci sequence），又稱**分割數列、因數學家列昂納多·斐波那契（leonardoda fibonacci）以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」，指的是這樣一個數列：1、1、2、3、5、8、13、21、34、……在數學上，斐波納契數列以如下被以遞迴的方法定義：f(0)=1，f(1)=1, f(n)=f(n-1)+f(n-2)（n>=2，n∈n*）在現代物理、準晶體結構、化學等領域，斐波納契數列都有直接的應用，為此，美國數學會從1963起出版了以《斐波納契數列季刊》為名的一份數學雜誌，用於專門刊載這方面的研究成果。
遞推公式
斐波那契數列：1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, ...
如果設f(n）為該數列的第n項（n∈n*），那麼這句話可以寫成如下形式：:f(n)=f(n-1)+f(n-2)
顯然這是一個線性遞推數列。
(如上，又稱為「比內公式」，是用無理數表示有理數的一個範例。)
2樓：清朝的大學
an=(1/√5)*
用數學歸納法證明斐波那契數列公式
3樓：鈺瀟
假設對小或等於n的自然數k，a（k）=/sqrt(5)都成立，當n=k+1時，就有
a（k+1）=a（k）+a（k-1）
=/sqrt(5)+/sqrt(5)
=/sqrt(5)
=/sqrt(5)
=/sqrt(5)
=/sqrt(5)
這就說明公式對n=k+1也成立。
4樓：洪火
給你點資料，看完自然就會了！
斐波那契數列,「斐波那契數列」的發明者，是義大利數學家列昂納多·斐波那契（leonardo fibonacci，生於公元2023年，卒於2023年。籍貫大概是比薩）。他被人稱作「比薩的列昂納多」。
2023年，他撰寫了《珠算原理》(liber abaci)一書。他是第一個研究了印度和阿拉伯數學理論的歐洲人。他的父親被比薩的一家商業團體聘任為外交領事，派駐地點相當於今日的阿爾及利亞地區，列昂納多因此得以在一個阿拉伯老師的指導下研究數學。
他還曾在埃及、敘利亞、希臘、西西里和普羅旺斯研究數學。
斐波那契數列指的是這樣一個數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
這個數列從第三項開始，每一項都等於前兩項之和。它的通項公式為：(1/√5)*【√5表示根號5】
很有趣的是：這樣一個完全是自然數的數列，通項公式居然是用無理數來表達的。
【該數列有很多奇妙的屬性】
比如：隨著數列項數的增加，前一項與後一項之比越逼近**分割0.6180339887……
還有一項性質，從第二項開始，每個奇數項的平方都比前後兩項之積多1，每個偶數項的平方都比前後兩項之積少1。
如果你看到有這樣一個題目：某人把一個8*8的方格切成四塊，拼成一個5*13的長方形，故作驚訝地問你：為什麼64＝65？
其實就是利用了斐波那契數列的這個性質：5、8、13正是數列中相鄰的三項，事實上前後兩塊的面積確實差1，只不過後面那個圖中有一條細長的狹縫，一般人不容易注意到。
如果任意挑兩個數為起始，比如5、-2.4，然後兩項兩項地相加下去，形成5、-2.4、2.
6、0.2、2.8、3、5.
8、8.8、14.6……等，你將發現隨著數列的發展，前後兩項之比也越來越逼近**分割，且某一項的平方與前後兩項之積的差值也交替相差某個值。
斐波那契數列的第n項同時也代表了集合中所有不包含相鄰正整數的子集個數。
【斐波那契數列別名】
斐波那契數列又因數學家列昂納多·斐波那契以兔子繁殖為例子而引入，故又稱為「兔子數列」。
斐波那契數列
一般而言，兔子在出生兩個月後，就有繁殖能力，一對兔子每個月能生出一對小兔子來。如果所有兔都不死，那麼一年以後可以繁殖多少對兔子？
我們不妨拿新出生的一對小兔子分析一下：
第一個月小兔子沒有繁殖能力，所以還是一對;
兩個月後，生下一對小兔民數共有兩對;
三個月以後，老兔子又生下一對，因為小兔子還沒有繁殖能力，所以一共是三對;
－－－－－－
依次類推可以列出下表：
經過月數：0123456789101112
兔子對數：1123581321345589144233
表中數字1，1，2，3，5，8－－－構成了一個數列。這個數列有關十分明顯的特點，那是：前面相鄰兩項之和，構成了後一項。
這個數列是義大利中世紀數學家斐波那契在＜算盤全書＞中提出的，這個級數的通項公式，除了具有a(n+2)=an+a(n+1)/的性質外，還可以證明通項公式為：an=1/√[（1＋√5/2) n-(1-√5/2) n](n=1,2,3.....）
【斐波那挈數列通項公式的推導】
斐波那契數列：1，1，2，3，5，8，13，21……
如果設f(n)為該數列的第n項(n∈n+)。那麼這句話可以寫成如下形式：
f(1)=f(2)=1,f(n)=f(n-1)+f(n-2) (n≥3)
顯然這是一個線性遞推數列。
通項公式的推導方法一：利用特徵方程
線性遞推數列的特徵方程為：
x^2=x+1
解得x1=(1+√5)/2, x2=(1-√5)/2.
則f(n)=c1*x1^n + c2*x2^n
∵f(1)=f(2)=1
∴c1*x1 + c2*x2
c1*x1^2 + c2*x2^2
解得c1=1/√5，c2=-1/√5
∴f(n)=(1/√5)*【√5表示根號5】
通項公式的推導方法二：普通方法
設常數r,s
使得f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
則r+s=1, -rs=1
n≥3時，有
f(n)-r*f(n-1)=s*[f(n-1)-r*f(n-2)]
f(n-1)-r*f(n-2)=s*[f(n-2)-r*f(n-3)]
f(n-2)-r*f(n-3)=s*[f(n-3)-r*f(n-4)]
……f(3)-r*f(2)=s*[f(2)-r*f(1)]
將以上n-2個式子相乘，得：
f(n)-r*f(n-1)=[s^(n-2)]*[f(2)-r*f(1)]
∵s=1-r，f(1)=f(2)=1
上式可化簡得：
f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
那麼：f(n)=s^(n-1)+r*f(n-1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*f(n-2)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) + r^3*f(n-3)
……= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)*f(1)
= s^(n-1) + r*s^(n-2) + r^2*s^(n-3) +……+ r^(n-2)*s + r^(n-1)
（這是一個以s^(n-1)為首項、以r^(n-1)為末項、r/s為公差的等比數列的各項的和）
=[s^(n-1)-r^(n-1)*r/s]/(1-r/s)
=(s^n - r^n)/(s-r)
r+s=1, -rs=1的一解為 s=(1+√5)/2, r=(1-√5)/2
則f(n)=(1/√5)*
【c語言程式】
main()
; int i;
for(i=2;i<40;i++)
for(i=0;i<40;i++)
return 0;
} 【pascal語言程式】
varfib: array[0..40]of longint;
i: integer;
begin
fib[0] := 1;
fib[1] := 1;
for i:=2 to 39 do
fib[i ] := fib[i-1] + fib[i-2];
for i:=0 to 39 do
write('f', i, '=', fib[i ]);
end.
【數列與矩陣】
對於斐波那契數列1,1,2,3,5,8,13…….有如下定義
f(n)=f(n-1)+f(n-2)
f(1)=1
f(2)=1
對於以下矩陣乘法
f(n+1) = 1 1 * f(n)
f(n) 1 0 f(n-1)
它的運算就是
f(n+1)=f(n)+f(n-1)
f(n)=f(n)
可見該矩陣的乘法完全符合斐波那契數列的定義
設1 為b，1 1為c
1 1 0
可以用迭代得到:
斐波那契數列的某一項f(n)=(bc^(n-2))1
這就是斐波那契數列的矩陣乘法定義.
另矩陣乘法的一個運演算法則a¬^n(n為偶數)=a^(n/2)* a^(n/2).
因此可以用遞迴的方法求得答案.
時間效率：o(logn)，比模擬法o(n)遠遠高效。
**（pascal）
program fibonacci;
type
matrix=array[1..2,1..2] of qword;
varc,cc:matrix;
n:integer;
function multiply(x,y:matrix):matrix;
vartemp:matrix;
begin
temp[1,1]:=x[1,1]*y[1,1]+x[1,2]*y[2,1];
temp[1,2]:=x[1,1]*y[1,2]+x[1,2]*y[2,2];
temp[2,1]:=x[2,1]*y[1,1]+x[2,2]*y[2,1];
temp[2,2]:=x[2,1]*y[1,2]+x[2,2]*y[2,2];
exit(temp);
end;
function getcc(n:integer):matrix;
vartemp:matrix;
t:integer;
begin
if n=1 then exit(c);
t:=n div 2;
temp:=getcc(t);
temp:=multiply(temp,temp);
if odd(n) then exit(multiply(temp,c))
else exit(temp);
end;
procedure init;
begin
readln(n);
c[1,1]:=1;
c[1,2]:=1;
c[2,1]:=1;
c[2,2]:=0;
if n=1 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
if n=2 then
begin
writeln(1);
halt;
end;
cc:=getcc(n-2);
end;
procedure work;
begin
writeln(cc[1,1]+cc[1,2]);
end;
begin
init;
work;
end.
【數列值的另一種求法】
f(n) = [ (( sqrt ( 5 ) + 1 ) / 2) ^ n ]
其中[ x ]表示取距離 x 最近的整數。
【數列的前若干項】
1 1
2 2
3 3
4 5
5 8
6 13
7 21
8 34
9 55
10 89
11 144
12 233
13 377
14 610
15 987
16 1597
17 2584
18 4181
19 6765
20 10946
斐波那契數列都有哪些規律斐波那契數列有啥規律？
斐波那契數列中的斐波那契數會經常出現在我們的眼前 比如松果 鳳梨 樹葉的排列 某些花朵的花瓣數 典型的有向日葵花瓣 蜂巢，蜻蜓翅膀，超越數e 可以推出更多 矩形 分割 等角螺線，十二平均律等。合併圖冊 2張 斐波那契數與植物花瓣3 百合和蝴蝶花5 藍花耬鬥菜 金鳳花 飛燕草 毛茛花8 翠雀花13 金...
C 程式設計斐波那契數列求大神，c 中斐波那契數列
這是一個基本的陣列應用題啊。include using namespace std int main cin n if n 0 cout 1 if n 1 cout 1 for i 2 i n i cout return 0 include using namespace std int main ...
斐波那契數列由十三世紀義大利科學家斐波那契發現。數列中的一系列數字常常被人們稱為神奇數 奇異數。具
1 1 2 3 5 8 13 21 這個數列在排列裡用的很廣泛，比如一個樓梯有x個臺階，一次可以上一或兩個臺階，一共有多少種上法。就是這個數列。付費內容限時免費檢視 回答斐波那契數列由十三世紀義大利數學家斐波那契發現。數列中的一系列數字常被人們稱之為神奇數奇異數，也稱之為 兔子數列 具體數列為 1，...