1樓：星辰
這是重積分的應用問題 首先知道這個定義:若和數∑δak(k=1 到n)存在極限,設極限是a ,則稱a是曲面s的面積,即a=∫∮√(1+fx′^2(x,y)+fy′^2(x,y))dσ 半經為r的球面積a,球心在原點的球面方程是x^2+y^2+z^2＝r^2 第一卦限球面方程是z＝√(r^2-x^2-y^2) zx'＝-x/√(r^2-x^2-y^2) ;zy′＝-y/√(r^2-x^2-y^2) ∴√(1+zx'^2+zy′^2)=r/√(r^2-x^2-y^2) a＝8∫∫√(1+zx'^2+zy′^2)＝8r∫∫dxdy/√(r^2-x^2-y^2) (設x=tsinθ y=tcosθ)=8r∫(定積分0到π/2)dθ∫(定積分0到r)t/√(r^2-t^2)d t =4πr∫(定積分0到r)t/√(r^2-t^2)d t=4πr(-√(r^2-t^2))⊥0到r=4πr^2 注;√(x)表示根號x.
2樓：沃驕
球體表面積公式證明如下：
把一個半徑為r的球的上半球橫向切成n（無窮大）份， 每份等高，並且把每份看成一個類似圓臺，其中半徑等於該類似圓臺頂面圓半徑，則從下到上第k個類似圓臺的側面積，√表示根號
s(k)=2πr(k)×h
其中r(k)=√[r²-（kh）²]
h=r²/
s(k)=2πhr(k)=(2πr²)/n則 s=s(1)+s(2)+……+s(n)= 2πr²
圓臺的面積乘以2就是整個球的表面積4πr²。
球體表面積是指球面所圍成的幾何體的面積，它包括球面和球面所圍成的空間。
s=4πr²
3樓：
用^表示平方
把一個半徑為r的球的上半球切成n份 每份等高並且把每份看成一個圓柱，其中半徑等於其底面圓半徑則從下到上第k個圓柱的側面積s(k)=2πr(k)*h其中h=r/n r(k)=根號[r^-(kh)^]s(k)=根號[r^-(kr/n)^]*2πr/n=2πr^*根號[1/n^-(k/n^)^]則 s(1)+s(2)+……+s(n) 當 n 取極限（無窮大）的時候就是半球表面積2πr^
乘以2就是整個球的表面積 4πr^
球體表面積計算公式
4樓：情感e解憂**
球體表面積公式，球體表面積是指球面所圍成的幾何體的面積，它包括球面和球面所圍成的空間，球體表面積的計算公式為s=4πr²=πd²，該公式可以利用求體積求導來計算表面積。
5樓：艾康生物
s半=（4πr^2）/2+πr^2
=3πr^2
球的表面積公式是怎樣推匯出來的
6樓：日久生情
看看能否用初等的數學解釋，也算是一個挑戰。閒話少說，且聽慢慢道來。
長方形、三角形、梯形面積
先從長方形面積開始。大家都知道長方形的面積是底 *高，直觀上不難理解：這就是數一數圖中有多少單位小正方形而已。
堆了 m 排小正方形，每排有 n 個，總數就是 m*n 個；每個小正方形的面積是1，所以總面積是 m*n。把整數 m,n 換成分數也一樣成立，無非是以更小的正方形做單位來數而已。
把兩個三角形或者兩個梯形一正一反拼起來，得到了長方形。由此得到三角形的面積是長方形的一半， 也就是(底*高)/2，而梯形的面積是 (上底 +下底)* 高/2。甚至可以說，三角形是梯形面積公式的特例，三角形是上底 =0的梯形，長方形則是上下底相同的梯形。
所以只需要一個梯形公式就夠了，它概括了全部三種情形。
大數學家高斯小時候算1+2+3+...+100=5050的故事，大家恐怕是耳熟能詳了。高斯使用的等差數列求和公式，總和= (首項+末項)* 項數/2，本質上和梯形面積公式是一回事：
首項、末項分別是上底和下底，項數是高。這個例子看出數學是廣泛聯絡的整體，求數列和、求面積體積、求積分，都是一個東西，只是符號不同罷了。
斜三角形面積和祖?原理
好學的孩子可能會馬上指出，上面的做法計算三角形和梯形的面積，只適用於直角三角形和直角梯形。為什麼對一般的「斜三角形、斜梯形」也成立？
簡單的解釋是斜三角形，一正一反會拼成等底等高的平行四邊形。而平行四邊形可以不斷切掉斜角補到另一側（有時可能要做多次），變成一個等底等高的長方形。所以平行四邊形的面積也是底 * 高，上面三角形和梯形公式仍然成立。
祖?原理不難理解：想象每個高度上，都被一個很細的小條覆蓋住，小條的長度是這個高度上的截線長度，厚度是個很小的d 。所有小條的面積加起來就是圖形的面積 —— 有些小誤差，但是當 d -> 0 時誤差就縮小到0，得到精確面積。
既然這兩個圖形在每個高度上的截線長度都相同，對應的小條的面積也相同，所以總面積自然也一樣。上述推理應用到三維空間也成立，只要把「截線長度」換成「截面面積」就好了。祖?原理告訴我們，平行四邊形面積和等底等高的長方形面積相等，因為每個高度的截線長度都相等。
同理，等底等高的三角形（或梯形）的面積也是相等的，因為根據相似性，它們也滿足祖?原理的條件。
現在說體積。我們熟知稜柱或圓柱體積 =底面積 * 高，而稜錐和圓錐的體積，是同底同高的稜柱或圓柱體體積的1/3 ，也就是 底面積 * 高/3。為什麼呢？
利用上面數方塊的辦法，知道長方體的體積 = 底面積 * 高。一個正方體，可以恰好切成三個全等的「直角金字塔」，每個金字塔的底面是正方體的一面，高是正方體的邊長。所以底面為正方形、高為正方形邊長的稜錐的體積為等底等高稜柱的1/3 。
根據祖?原理和相似性，很容易把這個結論推廣到一般的稜錐和圓錐。這個規律甚至在更高的維度也成立， n維空間的球體積有如下的漂亮公式： 球體積=球表面積 * 半徑/n。
這裡係數1/n 來自n 維空間中的「稜錐」（學名是單純形）和對應的長方體（超矩形）的體積關係。看，原來球就是個底面自我封閉的稜錐，如此而已。
直接計算球表面積
另一件值得提及的事情，是有沒有可能不通過體積，直接計算球表面積？事實上，球的表面積和一個半徑為r，高度為2r的圓柱側面積是一樣的。下圖左側的球和右側的圓柱半徑相等，高度也相等，也就是球可以剛好裝進這個圓柱裡卡住。
這個圓柱的側面積（不包含上下底），很容易計算：
7樓：孟孟數學老師
數學一分鐘 球的表面積公式推導證明
8樓：匿名使用者
將圓球切成無數個小圓環，圓環的寬度為rdθ(弧微元),長度為圓的周長2πrsinθ
面積微元:
ds=2πrsinθ(rdθ)=2π(r^2)sinθdθ積分得:
s表=∫[0,π]2π(r^2)sinθdθ=2π(r^2)∫[0,π]sinθdθ
=-2π(r^2)cosθ|[0,π]
=4πr^2
球體表面積的公式證明
9樓：裸色控
√表示根號
把一個半徑為r的球的上半球橫向切成n（無窮大）份， 每份等高並且把每份看成一個類似圓臺，其中半徑等於該類似圓臺頂面圓半徑則從下到上第k個類似圓臺的側面積s(k)=2πr(k)×h其中r(k)=√[r^2-﹙kh）^2],h=r^2/.
s(k)=2πr(k)h=(2πr^2)/n則 s=s(1)+s(2)+……+s(n)= 2πr^2;
乘以2就是整個球的表面積 4πr^2;
可以把半徑為r的球看成像洋蔥一樣分成n層，每層厚為 = ，設第k層與球心的距離為r=r(k)=k ，面積為一個關於r(k)的函式設為s(r)，則k層的體積v(k)=s(r)* ，所以v= v(k)= s(k )* = s(r)*δr= ,也就是v(r)= ，有可以知道v(r)=4/3πr^3,所以同時求導就可得s(r)=4πr^2,
10樓：河傳楊穎
球體表面積的計算公式為s=4πr2=πd2√表示根號
把一個半徑為r的球的上半球橫向切成n（無窮大）份， 每份等高並且把每份看成一個類似圓臺，其中半徑等於該類似圓臺頂面圓半徑其中r(k)=√[r^2-﹙kh）^2],h=r^2/.
s(k)=2πr(k)h=(2πr^2)/n則 s=s(1)+s(2)+……+s(n)= 2πr^2;
乘以2就是整個球的表面積 4πr^2。
定積分求表面積：
取微圓環，圓心角θ~θ+dθ,則
微圓環面積ds=2πrsinθ*rdθ，
球面積s=∫ds=∫2πr²sinθ*dθ（從0積到π）=-2πr²cosθ|（下0上π）=4πr²
11樓：匿名使用者
我的想法不太一樣，我是把它
想成了一個半圓以直徑為軸旋轉而成的立體圖形，他的表面積就可以想成是半圓的周長經過旋轉得到的一個曲面，用線面結合，用半圓的周長乘圓的一週，就求出了它的表面積了。我雖是一個六年級的小學生，但請您尊重我的想法，仔細思考一下。
怎麼用定積分證明球體表面積公式
12樓：夢中雨滿羅蘭玉
取微圓環，圓心角θ～θ＋dθ，
則微圓環面積ds＝2πrsinθ＊rdθ，
球面積s＝∫ds＝∫2πr²sinθ＊dθ（從0積到π）＝－2πr²cosθ｜（下0上π）＝4πr²
應注意定積分與不定積分之間的關係：若定積分存在，則它是一個具體的數值（曲邊梯形的面積），而不定積分是一個函式表示式，它們僅僅在數學上有一個計算關係（牛頓-萊布尼茨公式），其它一點關係都沒有！
一個函式，可以存在不定積分，而不存在定積分；也可以存在定積分，而不存在不定積分。一個連續函式，一定存在定積分和不定積分；若只有有限個間斷點，則定積分存在；若有跳躍間斷點，則原函式一定不存在，即不定積分一定不存在。
擴充套件資料
利用周長公式計算球的表面積
√表示根號
把一個半徑為r的球的上半球橫向切成n（無窮大）份， 每份等高
並且把每份看成一個類似圓臺，其中半徑等於該類似圓臺頂面圓半徑
則從下到上第k個類似圓臺的側面積s（k）＝2πr（k）h
h＝r＾2／｛n√［r＾2－﹙kh）＾2｝．
s（k）＝2πr（k）h＝（2πr＾2）／n則 s＝s（1）＋s（2）＋……＋s（n）＝ 2πr＾2；
乘以2就是整個球的表面積 4πr＾2；
13樓：南京葉巨集
搜我的博文，對這個問題我有專門的論述分析。選一段
求微元的方法
我們求積分，必須先求微元，如果球表面積的微元用周長乘以高來積分，就犯了荒唐錯誤，而有時某情況正確，恰是碰巧如球體積，所以，從這個可笑事件中是必須吸取瞎猜的教訓，要掌握好微元的正確推導方法。
如積分求曲線與x軸圍成的面積，當然可以直接寫成積分s=∫ydx，但我們仍然用微元推導，微元是個「直角梯形」：下底y,上底y+dy,高dx ，則微元:
ds=(y+y+dy)/2 dx=(y+1/2dy)dx
去掉二級無窮小, ds=ydx s=∫ydx
再如，曲線長度的微元就是直角三角形的斜邊，符合勾股定理，
曲線長度dl=√(dx^2+dy^2)。l=∫√(dx^2+dy^2)=∫√(1+y'^2)dx
球的截面微元是個圓臺， 圓臺的體積v=πh/3(r1^2+r1r2+r2^2)
球體積的微元 dv=πy^2 dx。v=π∫y^2dx
表面積微元是圓臺的側面積， 圓臺側面積s=π(r1+r2)√((r1-r2)^2+h^2)
球表面積微元 ds=2πy √(dx^2+dy^2）。
s=2π∫y√(dx^2+dy^2）=2π∫y√(1+y'^2)dx ，才會得到正確的球表面積公式。
這樣，微元以三角形、梯形、圓臺等方式用合法公式推導，我們就不會再犯低階的主觀錯誤。
圓柱的表面積公式和體積公式，圓錐的表面積公式和體積公式
圓柱的表面積 底面周長 高 底面積 2s ch 2 r 2 rh 2 r dh 2 d 2 圓柱的體積 底面積 高v sh r h d 2 h 圓錐側面積公式 s 1 2al rl，a底周長，l母線長，r為底半徑 體積 v 1 3sh s為地面圓面積，h為圓錐高 圓柱體積 底面積乘以高 pi r 2...
圓柱的表面積公式
表面積 側面積 2個底面積 側面積 底面周長 高 3.14 直徑 高 3.14 半徑 2 高底面積 3.14 半徑 半徑 體積 底面積 高 體積 底面直徑 圓周率 高 表面積 底面直徑 圓周率 2 底面直徑 高 圓柱的表面積要分3部 1.s側 ch 2.s底 圓周率乘r的平方 3.s表 1s側 2s...
長方體和正方體表面積公式及字母，長方體和正方體的體積公式用字母是怎樣
如何應用公式計算長方體和正方體的表面積 正方體的表面積為s 6a的二次方長方體的表面積為s 2括號ab ah bah 正方復體表面積公式 制s 6 稜長 稜長 字母 s 6a 長方體表面積公式 s 長 寬 長 高 寬 高 2 或 s 長 寬 2 長 高 2 寬 高 2字母 s 2 ab ah bh ...