1樓:匿名使用者
你這裡(ax)y=x(ay)=實數bai還是矩du陣?
zhi設x,y均為列向量
如果等於dao實數的話內
那麼我們要證明的是容(ax)^t*y=x^t*(ay)(ax)^t*y=x^t*a^t*y=x^t*a*y=x^t*(ay)
如果等於矩陣的話
那麼我們要證明的是(ax)*y^t=x*(ay)^tx*(ay)^t=x*a^t*y^t=x*a*y^t=(ax)*y^t
試證明:設a為n階實對稱矩陣,且a^2=a,則存在正交矩陣t,使得t^-1at=diag(er,0),其中r為秩,er為r階單位矩陣
2樓:drar_迪麗熱巴
^證明:
a為實對稱矩陣,則幣可以對角化,
令aa=xa則
a^2=a
x^2a^2=xa
x(x-1)a=0
a≠0,x=0,1
則a矩陣的特徵值只能為0,1
所以r(a)=r(λ)=特徵值非0的個數
所以必存在可逆矩陣t使得
t^(-1)at=diag(er,0)
基本性質
1.對於任何方形矩陣x,x+xt是對稱矩陣。
2.a為方形矩陣是a為對稱矩陣的必要條件。
3.對角矩陣都是對稱矩陣。
4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特徵空間相同。
3樓:匿名使用者
∵a是是對稱的
∴存在正交矩陣t,使得t^-1at是對角型的,設對角線上是d1,d2,...dn
則由a^2=a有di^2=di,1<=i<=n所以di=0或1
整理一下就是(er,0)
設a為n階實對稱矩陣,證明:秩(a)=n的充分必要條件為存在一個n階實矩陣b,使ab+bta是正定矩陣
4樓:猴戳滔
|「必要性」bai(?)
利用反證法
du進行證明.
反設:zhir(a)
假設相應的特徵向量為x,即
屬:ax=0(x≠0),
所以:xtat=0.
從而:xt(ab+bta)x=xtabx+xtbtax=0,與ab+bta是正定矩陣矛盾,故假設不成立.所以,秩(a)=n.
「充分性」(?)
因為 r(a)=n,
所以a的特徵值λ1,λ2,...,λn全不為0.取矩陣b=a,則:ab+bta=aa+aa=2a2,它的特徵值為:2λ
,2λ,...,2λ
n全部為正,
所以ab+bta是正定矩陣.
5樓:左陽曜麻夜
首先知bai道一個定理:
a正定du
<=>存在可逆矩陣c,使
zhi得a=c*c的轉置dao
接下來證明你的題:
版因為a正定
所以存在可逆矩陣c,使權得a=c*c的轉置設c的逆的轉置=d
則d可逆,且
a的逆=d*d的轉置
(對上式兩邊取逆就得到了)
所以a的逆也是正定的
而a*a的伴隨=|a|*e
所以a的伴隨=|a|*a的逆
其中|a|是a的行列式,是一個正數
即為一個正數乘以一個正定陣,所以是正定的
n階實對稱矩陣a滿足a^2=a,r(a)=r
6樓:夏de夭
實際上,對於任意半正定實對稱矩陣a(r(a)=r),都存在nxr階矩陣u,使得a=uu^t:
因為a為實對稱矩陣,所以存在正交矩陣p,使得a=pdp^t,其中d=diag{m1,...,mr,0,...,0}(其中mi為a的正特徵值)記b=diag{√m1,...,√mr},取u^t=(b 0)p^t,則uu^t=pdp^t=a
所以對本題,由a^2=a可得a的特徵值只有1(r重)、0,從而取u^t=(er 0)p^t即可
設n階實對稱矩陣a滿足a^2=a,且a的秩為r,求行列式2e-a的值
7樓:匿名使用者
你好!答案是2^(n-r),可以利用特徵值如下圖計算。經濟數學團隊幫你解答,請及時採納。謝謝!
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