證明如果A是nxn對稱矩陣,那麼對任意屬於Rn的x

2021-03-03 20:27:50 字數 2204 閱讀 9911

1樓:匿名使用者

你這裡(ax)y=x(ay)=實數bai還是矩du陣?

zhi設x,y均為列向量

如果等於dao實數的話內

那麼我們要證明的是容(ax)^t*y=x^t*(ay)(ax)^t*y=x^t*a^t*y=x^t*a*y=x^t*(ay)

如果等於矩陣的話

那麼我們要證明的是(ax)*y^t=x*(ay)^tx*(ay)^t=x*a^t*y^t=x*a*y^t=(ax)*y^t

試證明:設a為n階實對稱矩陣,且a^2=a,則存在正交矩陣t,使得t^-1at=diag(er,0),其中r為秩,er為r階單位矩陣

2樓:drar_迪麗熱巴

^證明:

a為實對稱矩陣,則幣可以對角化,

令aa=xa則

a^2=a

x^2a^2=xa

x(x-1)a=0

a≠0,x=0,1

則a矩陣的特徵值只能為0,1

所以r(a)=r(λ)=特徵值非0的個數

所以必存在可逆矩陣t使得

t^(-1)at=diag(er,0)

基本性質

1.對於任何方形矩陣x,x+xt是對稱矩陣。

2.a為方形矩陣是a為對稱矩陣的必要條件。

3.對角矩陣都是對稱矩陣。

4.兩個對稱矩陣的積是對稱矩陣,當且僅當兩者的乘法可交換。兩個實對稱矩陣乘法可交換當且僅當兩者的特徵空間相同。

3樓:匿名使用者

∵a是是對稱的

∴存在正交矩陣t,使得t^-1at是對角型的,設對角線上是d1,d2,...dn

則由a^2=a有di^2=di,1<=i<=n所以di=0或1

整理一下就是(er,0)

設a為n階實對稱矩陣,證明:秩(a)=n的充分必要條件為存在一個n階實矩陣b,使ab+bta是正定矩陣

4樓:猴戳滔

|「必要性」bai(?)

利用反證法

du進行證明.

反設:zhir(a)

假設相應的特徵向量為x,即

屬:ax=0(x≠0),

所以:xtat=0.

從而:xt(ab+bta)x=xtabx+xtbtax=0,與ab+bta是正定矩陣矛盾,故假設不成立.所以,秩(a)=n.

「充分性」(?)

因為 r(a)=n,

所以a的特徵值λ1,λ2,...,λn全不為0.取矩陣b=a,則:ab+bta=aa+aa=2a2,它的特徵值為:2λ

,2λ,...,2λ

n全部為正,

所以ab+bta是正定矩陣.

5樓:左陽曜麻夜

首先知bai道一個定理:

a正定du

<=>存在可逆矩陣c,使

zhi得a=c*c的轉置dao

接下來證明你的題:

版因為a正定

所以存在可逆矩陣c,使權得a=c*c的轉置設c的逆的轉置=d

則d可逆,且

a的逆=d*d的轉置

(對上式兩邊取逆就得到了)

所以a的逆也是正定的

而a*a的伴隨=|a|*e

所以a的伴隨=|a|*a的逆

其中|a|是a的行列式,是一個正數

即為一個正數乘以一個正定陣,所以是正定的

n階實對稱矩陣a滿足a^2=a,r(a)=r

6樓:夏de夭

實際上,對於任意半正定實對稱矩陣a(r(a)=r),都存在nxr階矩陣u,使得a=uu^t:

因為a為實對稱矩陣,所以存在正交矩陣p,使得a=pdp^t,其中d=diag{m1,...,mr,0,...,0}(其中mi為a的正特徵值)記b=diag{√m1,...,√mr},取u^t=(b 0)p^t,則uu^t=pdp^t=a

所以對本題,由a^2=a可得a的特徵值只有1(r重)、0,從而取u^t=(er 0)p^t即可

設n階實對稱矩陣a滿足a^2=a,且a的秩為r,求行列式2e-a的值

7樓:匿名使用者

你好!答案是2^(n-r),可以利用特徵值如下圖計算。經濟數學團隊幫你解答,請及時採納。謝謝!

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