1樓：我愛五子棋
下面是畢達哥拉斯提出的證明方法：
假定√2是有理數，即√2 = p/q，在這裡p和q是沒有公約數的正整數（沒有除1以外的其它正整數公因子），於是 p = √2q ，或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍，可知p2是個偶數，從而p必定是偶數。令p=2r，於是前面的等式成為4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是個偶數，從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數，它們有一個公約數2，這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是，由√2是有理數的假定引出了不可能的情況，因而這個假定必然是不對的。
這個證明是數學史上最早的一個技巧高超的證明，用的是反證法。相傳，畢達哥拉斯對這個證明結果非常珍惜，不打算公開公佈這個結果。他的一個學生為了好奇，悄悄走到老師家裡偷出了檔案，這個證明方法才被公開出來。
從而引起了科學界的第一次數學危機。
2樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
3樓：肖老師k12數學答疑
回答用反證法來證明
假定√2是有理數，即√2 = p/q，在這裡p和q是沒有公約數的正整數（沒有除1以外的其它正整數公因子），於是 p = √2q ，或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍，可知p2是個偶數，從而p必定是偶數。令p=2r，於是前面的等式成為4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是個偶數，從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數，它們有一個公約數2，這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是，由√2是有理數的假定引出了不可能的情況，因而這個假定必然是不對的
希望能幫助到你！
提問那√3又如何證明呢？
回答用類比推理唄！
√2已經證明了，√3就用√2來證明嘛！
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4樓：腦細胞的腦
設 根2是有理數， 那麼 存在 gen2=m/n 沒有公約數 。 m,n 都是整數 。
2n^2=m^2 , m^2 是偶數， m 必然是偶數。
命 m=2k , 那麼 m^2=4k^2=2n^2 , n^2=2k^2 。n^u 是偶數，n 是偶數 ，
結果 m/n 是兩個偶數相除 ，有了公約數 。矛盾。
於是 gen2 不是有理數， 那麼不是有理數的 數 是 無理數。證畢
5樓：終周允易真
用反證法，如果√2是有理數，則可表示成兩個互質整數的商√2＝a/b,（這裡a與b互質）
2=a^2/b^2
2b^2=a^2
因為兩奇數的積是奇數，2b^2是偶數所以a只能是偶數，設a=2nb^2=2n^2,同理b也只能是偶數，與a,b互質矛盾。所以√2不是有理數，只能是無理數
6樓：丙夏何婉奕
例子：證明根號2是無理數：
證明：若根號2是有理數，則設它等於m/n（m、n為不為零的整數，m、n互質）
所以（m/n）^2=根號2
^2=2
所以m^2/n^2=2
所以m^2=2*n^2
所以m^2是偶數，設m=2k（k是整數）
所以m^2=4k^2=2n^2
所以n^2=2k^2
所以n是偶數
因為m、n互質
所以矛盾
所以根號2不是有理數，它是無理數
證明根號2是無理數
7樓：顏代
證明：假設√2是有理數。那麼可用互質的兩個數m、n來表示√2。
即√2=n/m。
那麼由√2=n/m可得，
2=n^2/m^2，即n^2=2*m^2
因為n^2=2*m^2，那麼n^2為偶數，則n也為偶數。
則可令n=2a，那麼(2a)^2=2*m^2，化簡得2a^2=m^2，同理可得m也為偶數。
那可令m=2b。
那麼由m=2b，n=2a可得m與n有共同的質因數2，即m和n不是互質的兩個數。
所以假設不成立。
即√2是有理數不成立，那麼√2是無理數。
8樓：初中數學九筒老師
20190821 數學04
9樓：鮮日國漢
反證法如果√2是有理數，
必有√2=p/q(p、q為互質的正整數)
兩邊平方:2=p^/q^
p^=2q^
顯然p為偶數，
設p=2k(k為正整數)
有:4k^=2q^,
q^=2k^
顯然q業為偶數，
與p、q互質矛盾
∴假設不成立，√2是無理數
10樓：
假設根號2是有理數
有理數可以寫成一個最簡分數
及兩個互質的整數相除的形式
即根號2=p/q
pq互質
兩邊平方
2=p^2/q^2
p^2=2q^2
所以p^2是偶數
則p是偶數
令p=2m
則4m^2=2q^2
q^2=2m^2
同理可得q是偶數
這和pq互質矛盾
所以假設錯誤
11樓：郝宸呼延華茂
證明：假設√2不是無理數，而是有理數。
既然√2是有理數，它必然可以寫成兩個整數之比的形式：
√2=p/q
又由於p和q沒有公因數可以約去，所以可以認為p/q為最簡分數,即最簡分數形式。
把√2=p/q
兩邊平方
得2=(p^2)/(q^2)
即2(q^2)=p^2
由於2q^2是偶數，p
必定為偶數，設p=2m
由2(q^2)=4(m^2)
得q^2=2m^2
同理q必然也為偶數，設q=2n
既然p和q都是偶數，他們必定有公因數2，這與前面假設p/q是最簡分數矛盾。這個矛盾是由假設√2是有理數引起的。因此√2是無理數。
12樓：曾自覃寄春
證明：假設根號2為有理數，則可表示為兩個最簡整數比的形式：
根號2=p/q
則兩邊平方得：2=
p2/q2
因為2q2必為偶數
所以p必為偶數，設為p=2m，（m屬於z）則p2=4m2=2q2，q2=2m2
所以，p必為4的倍數，q必為2的倍數！
則p，q必有公因數2，p/q不為最簡整數比！
與假設相矛盾
所以，假設錯誤，根號2為無理數！
13樓：匿名使用者
反證法假設√2是有理數，則√2＝m/n(m,n是互質的整數)所以m^2=2n^2,
2n^2是偶數，所以m^2是偶數，所以m=2k（k∈z）,所以4k^2=2n^2,2k^2=n^2,所以n也是偶數。
這與m,n互質矛盾
所以假設不成立得證。
14樓：匿名使用者
反證法:設根號2為有理數,則它可化為兩個整數相除的形式.分母為整數,假設分母不含因子根號2，則分子必定含有因子根號2,又分子為整數,則分子中根號2的個數必定為偶.
既然分子中根號2個數為偶,則它與分母相除就得不到根號2,這就產生了矛盾。
15樓：軒轅流霜
假設根號2是有理數
那麼根號2可以由兩個互質的素數表示成p/q即根號2=p/q
p=根號2*q
兩邊平方得p^2=2*q^2
所以p^2為偶數
所以p為偶數
所以p^2為4的整數倍
所以q^2為偶數
所以q為偶數
得到p、q均為偶數，並不互質
與假設矛盾
所以根號2為無理數
16樓：飽和食鹽水
有理數的性質是它可以化成一個分數m/n的形式，且m,n互質．設根2=m/n 則2=m^2/n^2
所以m^2為2的倍數，所以m為偶數．設m=2k,代入原式，所以n^2=2k^2,則n又為的倍數．
而這與m,n互質矛盾，所以不存在這樣的m,n.
所以根2為無理數．
17樓：匿名使用者
假設根號2為有理數，那麼必然可以表示為兩個整數之比，即m/n設m/n為最簡分數，即m.n互質
因為m/n=2
所以(m/n)^2=m^2/n^2=2
m^2=2n^2
所以m^2為偶數，即m為偶數
不妨設m=2k
那麼m^2=4k^2
所以n^2=m^2/2=2k^2
所以n^2為偶數，即n為偶數
所以m,n均為偶數，m/n必有公約數2，即m/n不是最簡分數，與假設矛盾，所以根號2不能表示為兩個整數m/n之比，所以不是有理數，即是無理數
18樓：匿名使用者
設根號2是有理數
根號2=m/n mn為互質整數
則2=m方/n方
m方=2m方 即m方是偶數,m為偶數
m為偶數,則m方為4的倍數
則n方為偶數,n為偶數
則mn不互質
與假設矛盾
所以:根號2是無理數
這種方法叫反證法,
1,假設相反的情況成立
2,根據假設得出於假設矛盾的結論
3,從而證明假設錯誤,原命題正確
19樓：匿名使用者
證明：如果根號2是有理數，
則滿足有理數的性質：任何有理數可以表示成p/q的形式其中p，q為正整數並且p，q互素即最大公約數是1則根據最大公因數的性質有正整數m，n
使mp+nq=1 …………（1）
因為 p/q=根號2 ，為有理數
所以 p=（根號2）*q也是有理數（根據有理數域性質）…………（2）代入（1）
m*（根號2）*q+nq=1 …………（3）又因為m>=1,根號2>1,q>=1,n>=1,所以m*（根號2）*q+nq>1，
與（3）矛盾
所以根號2為無理數證畢！
20樓：蕭泊星辰
上面的反證法是有漏洞的，題目要求證明√2是無理數，就相當於證明只有偶數的平方才是偶數，因此「只有偶數的平方才是偶數」是不能作為論據的，因為那是待證明的結論。
況且，既然假設了√2是有理數，那麼√2這個「有理數」的平方就是偶數，何來「只有偶數的平方才是偶數」？
嚴格的反證法應該是：
假設√2是有理數，即√2=m/n，m/n為最簡分數
由於1<√2<2，所以0<(√2-1)<1
因此m>(√2-1)m=2n-m∈n ; n>(√2-1)n=m-n∈n
所以，√2的最簡分數形式也許為[(√2-1)m]/[(√2-1)n]，但肯定不是m/n，這與假設矛盾。故√2是無理數。
怎麼證明√2是無理數?
21樓：我愛五子棋
下面是畢達哥拉斯提出的證明方法：
假定√2是有理數，即√2 = p/q，在這裡p和q是沒有公約數的正整數（沒有除1以外的其它正整數公因子），於是 p = √2q ，或p2 = 2q2因為p2是個整數的2倍，可知p2是個偶數，從而p必定是偶數。令p=2r，於是前面的等式成為4r2=2q2，或q2=2r2，可知q2是個偶數，從而q必定是偶數。由於p、q都是偶數，它們有一個公約數2，這與最初的假設p,q是沒有公約數的正整數相矛盾。
於是，由√2是有理數的假定引出了不可能的情況，因而這個假定必然是不對的。
這個證明是數學史上最早的一個技巧高超的證明，用的是反證法。相傳，畢達哥拉斯對這個證明結果非常珍惜，不打算公開公佈這個結果。他的一個學生為了好奇，悄悄走到老師家裡偷出了檔案，這個證明方法才被公開出來。
從而引起了科學界的第一次數學危機。
22樓：淦仁蔣嬋
用反證法，如果√2是有理數，則可表示成兩個互質整數的商√2＝a/b,（這裡a與b互質）
2=a^2/b^2
2b^2=a^2
因為兩奇數的積是奇數，2b^2是偶數所以a只能是偶數，設a=2nb^2=2n^2,同理b也只能是偶數，與a,b互質矛盾。所以√2不是有理數，只能是無理數
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