1樓：神威魔力
一元三次方程的求根公式用通常的演繹思維是作不出來的，用類似解一元二次方程的求根公式的配方法只能將型如ax^3+bx^2+cx+d+0的標準型一元三次方程形式化為x^3+px+q=0的特殊型。
一元三次方程的求解公式的解法只能用歸納思維得到，即根據一元一次方程、一元二次方程及特殊的高次方程的求根公式的形式歸納出一元三次方程的求根公式的形式。歸納出來的形如 x^3+px+q=0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x=a^(1/3)+b^(1/3)型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內容，也就是用p和q表示a和b。
方法如下：
（1）將x=a^(1/3)+b^(1/3)兩邊同時立方可以得到
（2）x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)(a^(1/3)+b^(1/3))
（3）由於x=a^(1/3)+b^(1/3)，所以（2）可化為
x^3=(a+b)+3(ab)^(1/3)x，移項可得
（4）x^3－3(ab)^(1/3)x－(a+b)＝0，和一元三次方程和特殊型x^3+px+q=0作比較，可知
(5)－3(ab）^（1/3）＝p,－(a+b)=q，化簡得
（6）a+b＝－q，ab＝-（p/3）^3
（7）這樣其實就將一元三次方程的求根公式化為了一元二次方程的求根公式問題，因為a和b可以看作是一元二次方程的兩個根，而(6)則是關於形如ay^2+by+c=0的一元二次方程兩個根的韋達定理，即
（8）y1＋y2＝－（b/a）,y1*y2=c/a
(9)對比（6）和（8），可令a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a
(10)由於型為ay^2+by+c=0的一元二次方程求根公式為
y1＝－（b＋（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
y2＝－（b－（b^2－4ac）^(1/2)）/(2a)
可化為(11)y1＝－(b/2a)-((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
y2＝－(b/2a)+((b/2a)^2-(c/a))^(1/2)
將(9)中的a＝y1，b＝y2，q＝b/a，-（p/3）^3＝c/a代入（11）可得
(12)a＝－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
b＝－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)
(13)將a，b代入x=a^(1/3)+b^(1/3)得
(14)x=（－(q/2)-((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)+（－(q/2)+((q/2)^2＋（p/3）^3）^(1/2)）^(1/3)
式 (14)只是一元三方程的一個實根解，按韋達定理一元三次方程應該有三個根，不過按韋達定理一元三次方程只要求出了其中一個根，另兩個根就容易求出了
2樓：
高等數學並沒有說三次方程沒有求根公式。事實上，3次和4次方程都有求根公式，5次及以上的高次方程才沒有一般的解析公式。
3次方程求根公式是著名的卡爾丹公式
方程x^3+px+q=0的三個根為
x1=[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w^2[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
x2=w^2[-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)+
+w[-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2)]^(1/3)
其中w=(-1+√3i)/2.
推導過程：
1、方程x^3=1的解為x1=1,x2=-1/2+i√3/2=ω,x3=-1/2-i√3/2=ω^2
2、方程x^3=a的解為x1=a（1/3）,x2=a^(1/3)*ω,x3= a^(1/3)*ω^2
3、一般三次方程ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0),兩邊同時除以a,可變成x^3+ax^2+bx+c=0的形式。再令x=y-a/3,代入可消去次高項，變成x^3+px+q=0的形式。
設x=u+v是方程x^3+px+q=0的解，代入整理得：
(u+v)(3uv+p)+u^3+v^3+q=0 ①
如果u和v滿足uv=-p/3,u^3+v^3=-q則①成立，由一元二次方程韋達定理u^3和v^3是方程
y^2+qy-p^3/27=0的兩個根。
解之得，y=-q/2±(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
不妨設a=-q/2-(q^2/4+p^3/27)^(1/2),b=-q/2+(q^2/4+p^3/27)^(1/2)
則u^3=a,v^3=b
u= a（1/3）或者a^(1/3)*ω或者a^(1/3)*ω^2
v= b（1/3）或者b^(1/3)*ω或者b^(1/3)*ω^2
但是考慮到uv=-p/3，所以u、v只有三組解：
u1= a（1/3）,v1= b（1/3）
u2=a^(1/3)*ω,v2=b^(1/3)*ω^2
u3=a^(1/3)*ω^2,v3=b^(1/3)*ω
那麼方程x^3+px+q=0的三個根也出來了，即
x1=u1+v1= a（1/3）+b（1/3）
x2= a^(1/3)*ω+b^(1/3)*ω^2
x3= a^(1/3)*ω^2+b^(1/3)*ω
這正是著名的卡爾丹公式。你直接套用就可以求解了。
△=q^2/4+p^3/27為三次方程的判別式。
當△>=0時，有一個實根和兩個共軛復根；
當△<0時，有三個實根。
根與係數關係是：設ax^3+bx^2+cx+d=0(a≠0）的三根為x1,x2,x3,
則x1+x2+x3=-b/a,x1x2+x2x3+x1x3=c/a,x1x2x3=-d/a.
哪些三次方程有求根公式，三次方程求根公式是什麼
歸納出來的形如 x 3 px q 0的一元三次方程的求根公式的形式應該為x a 1 3 b 1 3 型，即為兩個開立方之和。歸納出了一元三次方程求根公式的形式，下一步的工作就是求出開立方里面的內容，也就是用p和q表示a和b。方法如下 1 將x a 1 3 b 1 3 兩邊同時立方可以得到 2 x 3...
一元三次方程有幾個根,怎樣判斷一元三次方程根的個數
在實數範圍內有解的話,有一至三個根.由y ax 3 bx 2 cx d得 a不為零且b.c.d為常數 移項得 y ax 3 y bx 2 cx d 畫出所有可能的專圖象 屬,觀察兩圖象最多有幾個交點 每個交點橫座標即為解 一元三次方程有幾個根?在實數範圍內有解的話,有一至三個根.由y ax 3 bx...
一元三次方程怎麼解，解一元三次方程的其他方法
我只說下高中階段需要掌握的解法，就是先猜出一個根m 通常為正負1,2,3這類小整數 然後利用因式分解將 x m 作為一項，另外一項為 ax bx c 二者相乘，然後與原三次方程對應相等，解除abc，然後分解ax bx c 0，參照一元二次方程求出另外兩根。高階解法見下連線。高中不會用到 解一元三次方...