1樓：包冰召向真
b^2+c^2>=2bc
a^2+c^2>=2ac
b^2+a^2>=2ab
所以：a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>=6abc
等號成立的條件是，a=b=c
又因為a,b,c是不全相等的正數
所以a(b^2+c^2)+b(c^2+a^2)+c(a^2+b^2)>=6abc.
2樓：匿名使用者
設函式f(x，y，z)＝xy∧2z∧3，(x，y，z均大於零)，再設一個邊界條件x+y+z≦k，在這個條件下求f的最大值。這時x，y，z的取值區域是個三稜錐，在三稜錐內部得到的f值，總有在x+y+z＝k上的某個點比其大，所以只要求在邊界條件x+y+z＝k上f的最大值就可以了。在這個面上f是連續的。
當x，y，z任一個為零時，f為零，所以在這面內部一定有一個最大值，此點為駐點。可以做拉格朗日函式l＝f+λ(x+y+z-k)，求偏導令為零得到四個方程:y∧2z∧3+λ＝0，2xyz∧3+λ＝0，3xy∧2z∧2+λ＝0，x+y+z-k＝0。
聯立求解得x＝k/6，y＝k/3，z＝k/2。此時f＝(k/6)*(k/3)∧2*(k/2)∧3即為108*(k/6)∧6。令k＝a+b+c，則點(a，b，c)在此面上，肯定小於等於此面上的最大值108*(k/6)∧6即108*((a+b+c)/6)∧6，把點帶入即證。
已知a,b,c均為實數,求證a^2+b^2+c^2大於等於1/3(a+b+c)^2
3樓：沒好時候
(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bca^2+b^2≥2ab
a^2+c^2≥2ac
b^2+c^2≥2bc
∴(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2ab+2ac+2bc≤3(a^2+b^2+c^2)
∴a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2(a=b=c時等號成立)
設a,b,c為正數，求證：(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b<=a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab(用排序不等式證明
4樓：
不妨設a≥b≥c＞0,則a^3≥b^3≥c^3,1/bc≥1/ac≥1/ab
則左式為順序和，即：
a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab≥a^2/c+b^2/a+c^2/b(亂序和)
a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab≥b^2/c+c^2/a+a^2/b(亂序和)
兩式相加，2(a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab)≥(a^2+b^2)/c+(b^2+c^2)/a+(c^2+a^2)/b
兩邊除以2，即(a^3/bc+b^3/ca+c^3/ab)≥(a^2+b^2)/2c+(b^2+c^2)/2a+(c^2+a^2)/2b。
5樓：
不知道什麼是排序不等式，但是可以證明出來這個結論：
兩邊同時乘以2abc,那麼即要證明：2(a^4+b^4+c^4)>=(a^2+b^2)ab+(b^2+c^2)bc+(c^2+a^2)ca.
這樣只需證明a^4+b^4 >= (a^2+b^2)ab即可，把右邊的移到左邊，即是證明(a^3-b^3)(a-b)>=0得證
6樓：少
因為a,b,c都為正數，所以[（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca)]/2 ≥ 根
號[（a的三次方/bc）*（b的三次方/ca）]，去掉根號得
[（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）]/2 ≥ ab/c ---1式
同理可得[（b的三次方/ac）+（c的三次方/ab）]/2 ≥ bc/a ---2式
[（a的三次方/bc）+（c的三次方/ab）]/2 ≥ ac/b ---3式
把1式，2式，3式相加得
（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab） ≥
(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) , 又
因為 [(ab/c) + (bc/a)] ≥ 根號 2*[(ab/c) * (bc/a)]，再去掉根號得
(ab/c) + (bc/a) ≥ 2b ---4式
同理可得 (bc/a) +(ac/b) ≥ 2c ---5式
(ab/c) + (ac/b) ≥ 2a ---6式
再把4式，5式，6式相加得2*[(ab/c) + (bc/a) +(ac/b)] ≥ 2(a+b+c)
即(ab/c) + (bc/a) +(ac/b) ≥ a + b + c
又因為（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab） ≥ (ab/c)
+ (bc/a) +(ac/b) ,
所以（a的三次方/bc）+（b的三次方/ca）+（c的三次方/ab）≥a+b+c
a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 尤拉公式的證明，要詳細
7樓：匿名使用者
a^3+b^3+c^3-3abc
=[( a+b)^3-3a^2b-3ab^2]+c^3-3abc=[(a+b)^3+c^3]-(3a^2b+3ab^2+3abc)=(a+b+c)[(a+b)^2-(a+b)c+c^2]-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+2ab-ac-bc+c^2)-3ab(a+b+c)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-ac-bc)
設a b c都是正實數，a a 3，求證 a b c
證明如下 a b c是正實數，有abc a b b c c a 3abc，a 2c ab 2 bc 2 3abc，a 2c abc ab 2 abc bc 2 abc 0，ac a b ab b c bc c a 0。兩邊同除以abc，得 a b b b c c c a a 0，a b b c c ...
設實數b c滿足b 2c 1，證明方程x的平方 bx c 0有兩個相異實根，且其中至少有正根
b 2c 1 x 2c 1 x c 0 判別式 2c 1 4c 4c 4c 1 4c 4c 14c 0,所以4c 1 1 即判別式一定大於0 所以有兩個相異實根 由韋達定理 x1 x2 2c 1,x1x2 c 若兩個根都是小於等於0 即一個等於0一個小於0或都小於0 則x1 x2 0,x1x2 0 ...
已知a，b，c為正數，用排序不等式證明 2（a3 b3 c3）a2（b c） b2（a c） c2（a b）
證明 du先證明 zhia3 b3 daoa2b ab2，內 a3 b3 a2b ab2 a2 a b b2 a b a2 b2 容a b a b a b 2 0，a3 b3 a2b ab2，取等號的條件是a b，同理，a3 b3 a2b ab2，a3 c3 a2c ac2，b3 c3 b2c bc...