10年數學建模A題

1樓：匿名使用者

a題：這個問題不能算難，但真正工作起來的環節卻不少，對同學們的工作能力還是有相當考驗的。想要完整地解決本題，一定幾何學、微積分、統計學的知識，以及運用計算機和數學軟體的紮實能力是絕對必要的。

本題關鍵是希望知道變位引數和罐容表之間的關係。在第二問裡，甚至明確指出，希望得到罐內儲油量與油位高度及變位引數之間的一般關係。這可以說是要做一個萬能的罐容表了。

當然如果細分的話，這裡涉及到幾個問題，從簡單到複雜是這樣的：:

1：小橢圓形儲油罐，無變位，油位高度和油量的關係。

2：實際儲油罐，無變位，油位高度和油量的關係。

3小橢圓形儲油罐，有一個特定的縱向傾斜角，油位高度和油量的關係。

4：小橢圓形儲油罐，有任意的變位引數，油位高度和油量的關係（這個關係肯定是帶著變位引數作為引數的）。

5：實際儲油罐，有任意的變位引數，油位高度和油量的關係。

想要完整解決a題，這五個「子問題」幾乎都是跳不過去的。題目中，明確給了問題1的資料（以下簡稱資料甲）和問題3的資料（以下簡稱資料乙），都在附件1裡。而最終希望得到的結果，大致可以理解成問題4和問題5。

根據資訊的流向，我們似乎可以梳理出一個比較簡明，也比較可靠的思路：

解決1：可以根據幾何關係和積分計算，也可以部分地參考資料甲來得到1的結果。當然最後還需要使用資料甲來檢驗這個結果。

純粹的幾何計算按理說吻合得就應該不錯。但一旦和資料吻合不太好，那或許還需要考慮稍複雜的因素以修正之。當然我個人猜想在這個題中，似乎沒有引入太多複雜因素的必要。

但無論如何，這裡結果的精度還是別太放鬆，否則對後面工作不利。

解決2：沒資料，我們只好根據幾何關係來計算它。如果一個方法，包括其考慮的因素，用在1中的效果不錯，我們也可以考慮照搬到2上來。無論如何，幾何計算都是最重要的一步工作。

解決3：和解決1的思路一樣，當然要更加麻煩。完全可能用到求解方程，數值積分，計算機的應用就派上用場了。同樣，最後需要使用資料來檢驗其精度。

解決4：如果解決3的思路好用，沒有過多人為的「特設的」修正並且精度不錯，拿它來解決4，當然也是可信的。

解決5：借用2和4的結果，當然這個計算還要麻煩一些。所求函式的非線性性質很強，不好辦的時候也可以做必要的簡化。

譬如把一些表示「不太規則區域的容量」的項，先簡化成線性的，再用二次項來修正。但無論怎麼做，對最後的精度，最好做出評估。

附件2裡的資料（以下簡稱資料丙）是用來做反問題的。對模型的建立過程並沒有明顯的作用。資料丙的第一個作用是希望通過實測資料，反向求解變位引數，這裡往往要涉及到統計學的辦法。

由於實測資料總有精度的限制，何況模型裡最後的函式關係不會很簡單，很難指望去直接解方程。這個問題相當於使用已知形式的函式去擬合這些資料，並找到最優的引數。資料丙的第二個作用是檢驗模型是否準確。

一方面可以講講擬合精度到底如何，一方面是剛才在擬合引數時，可以不把資料全都用完，有一部分資料就可以做擬合了，留一部分資料來作檢驗。而且這個工作還可以做若干次，每次（隨機地？）取不同部分的資料做擬合，取另一部分資料做檢驗，如果若干次的效果都能互相印證，定會大大增強結果的可信性和說服力。