1樓:匿名使用者
首先糾正你一個錯誤,常數加無窮小量並不等於常數,只是無限接近這個常數。我們知道一個大於1的數的n次方肯定是隨著n的增大而增大的。所以不能單純的以為limx→∞ (1+1/x)^x就是1。
2樓:錢冬天
1^∞=全體實數
e=(1+1/∞)^∞=1/0!+1/1!+1/2!+1/∞!
3樓:匿名使用者
1^ ∞=1
為什麼行?
那是無窮多個 「1」相乘。
為什麼lim (x趨於0)(1+x)^(1/x)等於e?
4樓:116貝貝愛
因為x趨於0,所以lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e
解題過程如下:
原式 = lim (e^(ln(1+x)/x) -e)/x
=lim e(e^(ln(1+x)/x - 1) -1 ) /x
=lim e(ln(1+x)/x -1)/x
=e lim (ln(1+x)-x)/x2
=e lim (1/(1+x)-1) / 2x
=e lim -x/(2x(1+x))
=lim[(1+x)^(1/x)]
=lim(1+x)^∞
=e求函式極限的方法:
利用函式連續性,直接將趨向值帶入函式自變數中,此時要要求分母不能為0。
當分母等於零時,就不能將趨向值直接代入分母,因式分解,通過約分使分母不會為零。若分母出現根號,可以配一個因子使根號去除。
如果趨向於無窮,分子分母可以同時除以自變數的最高次方。(通常會用到這個定理:無窮大的倒數為無窮小)。
採用洛必達法則求極限,當遇到分式0/0或者∞/∞時可以採用洛必達,其他形式也可以通過變換成此形式。符合形式的分式的極限等於分式的分子分母同時求導。
5樓:薔祀
解:本題利用了洛必達法則進行求解。
首先需要設y=(1+1/x)^x,
兩邊同時取自然對數得 lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)
由洛必達法則lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】 即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e。
擴充套件資料:
洛必達法則的應用條件:
一是分子分母的極限是否都等於零(或者無窮大);
二是分子分母在限定的區域內是否分別可導。
如果這兩個條件都滿足,接著求導並判斷求導之後的極限是否存在:如果存在,直接得到答案;如果不存在,則說明此種未定式不可用洛必達法則來解決;如果不確定,即結果仍然為未定式,再在驗證的基礎上繼續使用洛必達法則。
6樓:北極雪
這個問題的證明比較複雜,需要用到高等數學,符號較複雜,難以寫出當x趨於正無窮大或負無窮大時,「1加x分之一的x次方」這個函式表示式(1+1/x)^x的極限就等於e,用公式表示,即:
lim(1+1/x)^x=e
(x趨於±∞)
實際上e就是尤拉通過這個極限而發現的,它是個無限不迴圈小數,其值等於2.71828......。以e為底的對數叫做自然對數,用符號「ln」表示。
7樓:呦呵你少衝
最簡單的就是可以用複合函式解決:
令y=1/x,則x趨近於0則有y趨近於無窮=> 原式 = lim(y趨於無窮) (1+1/y) ^ y=e
8樓:匿名使用者
如果需要證明的話,有一個簡單方法:
1. (1-1/x)^(-x)=1/((1-1/x)^x)
2. 為了打字方便,只看分母
,也就是(1-1/x)^x=exp(ln((1-1/x)^x)))=exp(x*ln(1-1/x))=exp((ln(1-1/x))/(1/x)),令1/x=t,也就是=exp((ln(1-t))/t) (注意括號的層數)
3. 用洛比達法則:因為分子分母在x趨向正無窮的時候的極限都為0,所以上下求導,lim ln(1-t))/t=lim(-1/(1-t))/1=-1
4. 所以回到2:lim(1-1/x)^x=lim exp(ln((1-1/x)^x)))=exp(-1)=e^-1
5. 回到1: lim(1-1/x)^(-x)=lim1/((1-1/x)^x)=1/e^-1=e
9樓:噓白
因為x趨於0,lim[(1+x)^(1/x)] 等同於 x →∞ lim(1+1/x)^x,這個式子 就e的定義
10樓:單戀著的小豬
解:設y=(1+x)^(1/x)
兩邊同時取自然對數得
lny=(1/x)ln(1+x)=ln(1+x)/x則得lny=ln(1+x)/x=1(當x趨於0時)所以lny=1=lne
即y=e
11樓:無情天魔精緻
設y=(1+1/x)^x
兩邊同時取自然對數得
lny=xln(1+1/x)=[ln(1+1/x)]/(1/x)由羅比達法則lny=lim【x→∞】[ln(1+1/x)]/(1/x)=[1/(1+1/x)] (1/x) '/(1/x)'=1/(1+1/x)=1
所以y=e【x→∞】
即lim(x→∞) (1+1/x)^x=e
12樓:
因為x趨於0,lim[(1+x)^(1/x)]=lim(1+x)^∞=e
關於冪指函式極限lim[x→∞](1+1/x)^x=e的問題 5
13樓:匿名使用者
limf(x)=a>0,limg(x)=b,那麼可以證明limf(x)^g(x)=a^b
這兒a,b都是常數
而lim[x→∞](1+1/x)^x
x是∞,極限不存在,不在公式範圍之內。
它是結果確實是e,是要單獨記憶的。不能否認。
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