1樓：援手
聯立兩方程解得z=√3/2，因此這曲線的引數方程可寫為：x=cost/2，y=sint/2，z=√3/2，因此√(x'^2+y'^2+z'^2)=√[(sint)^2/4+(cost)^2/4]=1/2，原積分=
∫(sint/2)(cost/2)(√3/2)(1/2)dt=(√3/16)∫sintcostdt（積分限0到π/2）=(√3/32)(sint)^2=√3/32。
計算三重積分xyzdxdydz，其中積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦
2樓：等待楓葉
三重積分xyzdxdydz的結果等於1/48。
解：因為積分為球面x^2+y^2+z^2=1及三個座標所圍成的在第一卦，
那麼積分域ω是一個球心在原點，半徑為1的球在第一掛限內的部分。
則可用球座標計算。其中（0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1）。
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ
=[0,1]∫(r^5)dr[0,π/2]∫sin³φd(sinφ)[0,π/2]∫sinθd(sinθ)
=(((r^6)/6)︱[0,1])*(((1/4)sin⁴φ)︱[0,π/2])*(((1/2)sin²θ)︱[0,π/2])
=(1/6)*(1/4)*(1/2)
=1/48
即ω∫∫∫xyzdxdydz等於1/48。
擴充套件資料：
三重積分的計算方法
1、直角座標系法
適用於被積區域ω不含圓形的區域，且要注意積分表示式的轉換和積分上下限的表示方法。
（1）先一後二法投影法，先計算豎直方向上的一豎條積分，再計算底面的積分。
（2）先二後一法（截面法），先計算底面積分，再計算豎直方向上的積分。
2、柱面座標法
適用被積區域ω的投影為圓時，依具體函式設定，如設
x^2+y^2=a^2，x=asinθ，y=bsinθ。
區域條件：積分割槽域ω為圓柱形、圓錐形、球形或它們的組合。
函式條件：f（x,y,z）為含有與x^2+y^2相關的項。
3、球面座標系法
適用於被積區域ω包含球的一部分。
區域條件：積分割槽域為球形或球形的一部分，錐 面也可以；
函式條件：f（x,y,z）含有與x^2+y^2+z^2相關的項。
3樓：楊必宇
用球面座標：
f=x^2+y^2=(rsinφcosθ)^2+(rsinφsinθ)^2=r^2*sin^2(φ)。
|j|=r^2*sinφ，r∈[1,2]，φ∈[0,π/2]，θ∈[0,2π]。
原積分=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]f|j|dr。
=∫[0,2π]dθ∫[0,π/2]dφ∫[1,2]r^4*sin^3(φ)dr。
=2π*[(2^5-1)/2}*2/3=124π/3。
3、積分割槽域關於平面x=0對稱故元積分化為∫∫∫[ω]zdv。
這道題很複雜，要以z=1為界討論z的情況，如下圖：
t<1時，用平面z=t截ω得如下圖形：
不難求出圖形面積s(t)，f(t)=ts(t)。
同樣有f=ts(t)。
對t從0到1和從1到[3sqrt(17)-1]/4分別積分而後加和得到所要的答案。
計算∫∫∫xyzdxdydz,其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內
4樓：匿名使用者
如果你問先二後一的話倒有些技巧，先一後二隻是普通的演算法而已
利用球面座標計算∫∫∫xyzdv,其中ω是球面x^2+y^2+z^2=1與z^2=x^2+y^2圍成的第一卦限
5樓：匿名使用者
球座標∫
∫∫xyzdv
=∫∫∫ rsinφcosθ*rsinφsinθ*rcosφ*r²sinφdrdφdθ
=∫[0→π/2]cosθsinθdθ∫[0→π/4]sin³φcosφdφ∫[0→1] r^5dr
=(1/2)(1/16)(1/6)
=1/192
其中：∫[0→π/2]cosθsinθdθ=∫[0→π/2]sinθd(sinθ)
=(1/2)sin²θ |[0→π/2]
=1/2
∫[0→π/4]sin³φcosφdφ
=∫[0→π/4]sin³φd(sinφ)=(1/4)(sinφ)^4 |[0→π/4]=1/16
∫[0→1] r^5dr
=(1/6)r^6 |[0→1]
=1/6
6樓：匿名使用者
區域是球和錐面圍成，用球座標。
計算∫∫∫xyzdxdydz，其中 ∏x^2+y^2+z^2=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域
7樓：匿名使用者
計算ω∫∫∫xyzdxdydz，其中 ω：x²+y²+z²=1及三個座標面所圍成的在第一卦限內的閉區域
解：積分域ω是一個球心在原點，半徑為1的球在第一掛限內的部分，用球座標計算比較方便。
(0≦θ≦π/2，0≦φ≦π/2，0≦r≦1).
ω∫∫∫xyzdxdydz=ω∫∫∫[(rsinφcosθ)(rsinφsinθ)(rcosφ)r²sinφdrdθdφ
=ω∫∫∫[(r^5)sin³φcosφsinθcosθdrdθdφ=[0，1]∫(r^5)dr[0，π/2]∫sin³φd(sinφ)[0，π/2]∫sinθd(sinθ)
==(1/6)(1/4)(1/2)=1/48
8樓：匿名使用者
採用球面座標
0≤θ≤∏/2
0≤φ≤∏/2
0≤r≤1
9樓：
首先做出圖形，即第一卦限中的四分之一球。 若採用球面座標，r是原點到積分邊界的範圍，r的最大值由邊界曲面確定（將x.y.
z的引數形式帶入解析式，可得r=λ〈λ為常數或θ與φ的函式〉，即最大值。） φ是積分割槽域邊界曲面上向徑與z軸正向的夾角的範圍(可取到0～π)。 把積分割槽域向xoy平面做投影，θ是所得平面區域邊界曲線上點的向徑與x軸正向夾角的取值範圍（最大取0～2π）。
計算i=∫∫ds/(x^2+y^2+z^2),s是柱面x^2+y^2=r^2介於z=0,z=h(h>0)的部分。 200
10樓：匿名使用者
因為,對於柱面s：x^2+y^2=r^2介於z=0,z=h(h>0)，
ds=((2x)^2+(2y)^2+0^2)^(1/2dxdz=2rdxdz,-r 所以，i=∫∫ds/(x^2+y^2+z^2)=2∫2rdx∫dz/(r^2+z^2) =8r^2∫dz/(r^2+z^2)= =8r*arctan(h/r) 11樓：tot大蘇打 ∫∫rdzdθ/(r^2+z^2) =r∫[0，2兀]dθ∫dz/(r^2+z^2)，[0，h] =2兀arctan(h/r) 計算∮γ(x^2+y^2+z^2)ds,其中γ為空間曲線x^2+y^2=a^2,z=1(a>0). 12樓：詩中旅行 x^2+y^2+z^2=a^2+1 原式∮γ(x^2+y^2+z^2)ds=（a^2+1）∮γds=（a^2+1）2πa 計算 ∫ ∫∑（x^2+y^2）ds,其中為∑球面x^2+y^2+z^2=a^2 計算曲面積分 13樓：匿名使用者 z=±√aa-xx-yy， z'x=±（-x/√aa-xx-yy）， z'y=±（-y/√aa-xx-yy）， ds=√1+(z'x)^2+(z'y)^2dxdy=adxdy√aa-xx-yyyy， ∑在xoy面的投影區域d是xx+yy《aa，原式=∫∫〔內∑容上半球面〕…+∫∫〔∑下半球面〕…化成d上的二重積分並用極座標計算得到 =2a∫〔0到2π〕dt∫〔0到a〕【rrr/√aa-rr】dr=2aπ∫〔0到a〕【(aa-rr-aa)/√aa-rr】d(aa-rr) =2aπ∫〔0到a〕【(√aa-rr)-aa/√aa-rr】d(aa-rr) =2aπ【-(2/3)aaa+2aaa】 =8aaaaπ/3。 3x 2y 2z 3.2x 4y 3z 3.5x 2y 3z 12.解 得 8x z 9.2 得 4x 7z 3.由 得 z 8x 9 把 代入 得 x 1把x 1代入 得 z 1把x 1 z 1代入 得 y 2即 方程組的解是 x 1 y 2 z 12x 3y 2z 10.3x 2y 2z 1 2... 解答 1 使用換元法 f a x f a x 設t a x,代入上式，f t f 2a t 既是 f x f 2a x 這一結論可以直接寫出來 同理f x f 2b x f 2a x f 2b x 可以推出 f x f 2b 2a x 得證。同理 2 f x a f x f x a f x 2a 所... 證明 baix y 2 x y du0 zhi x y x dao2 y 2 0 x 3 y 3 x 2y xy 2 同理x 3 z 3 x 2z xz 2 z 3 y 3 z 2y zy 2 xyz不都相等,所以上面三式不專能同時屬取等號 x 3 y 3 x 3 z 3 z 3 y 3 x 2y ...3x 2y 2z 3 2x 4y 3z 3 5x 2y 3z 12三元一次方程組
Y1 Z1，X2 Y2 Z2可以求出
求曲線x23y2z29,z23x2y2在點