1樓:匿名使用者
有理數是「數與代數」領域中的重要內容之一,在現實生活中有廣泛的應用,是繼續學習實數、代數式、方程、不等式、直角座標系、函式、統計等數學內容以及相關學科知識的基礎。
有理數為整數和分數的統稱。正整數和正分數合稱為正有理數,負整數和負分數合稱為負有理數。因而有理數集的數可分為正有理數、負有理數和零。
由於任何一個整數或分數都可以化為十進位制迴圈小數,反之,每一個十進位制迴圈小數也能化為整數或分數,因此,有理數也可以定義為十進位制迴圈小數。
2樓:王佩鑾
1.正數和負數
我們知道,數學中已經認識的數都是從社會實踐活動中抽象出來的。在小學階段學習的正整數,正分數和零都是表示某種量的多少。正數和負數的引入,是因為在實際生活中存在大量具有相反意義的量,它用小學學過的數,不能明確表示其相反的情況。
例如某天的某一時刻,在a城是零上10°C,在b城則是零下10°C,僅用度數「10」就不能把兩地的溫度區別描述出來。又如甲向北走5公里,乙向南走5公里,這個距離「5」也不能把甲、乙兩人走的方向描述出來。我們把「零上x度與零下x度」,「向北5公里和向南5公里」等稱之為具有相反意義的量。
若把其中某個意義的量規定為正量,則與它意義相反的另一個量就規定為負量。如「零上10°C」規定為正10°C,則零下10°C就為負10°C。把正量和負量的單位去掉,就得到正數和負數的概念。
像5、1.5、10 、9840等大於0的數叫做正數。在正數前面加上「-」(讀作負)號的數,如-5、-1.
5、-10 、 -9840等叫做負數。其中,正數前面的「+」號可以忽略不寫。
在有關具有相反意義的量的問題中,是否有「既不向上,也不向下」,「既不向北,也不向南」的情況呢?答案是肯定的。「正的量」和「負的量」的分界點,是既不正也不負的,這點應該用小學學過的「零」來表示。
所以零既不是正數,也不是負數。而是正數、負數的分界,是唯一的一個真正的中性數。過去,零表示「沒有」,在學習了具有相反意義的量以後,我們知道它還有豐富的實踐意義。
如0°C,不是表示沒有溫度,而是表示冰點這樣一個固定的溫度。
雖然生活中存在大量具有相反意義的量,但不是所有的量都能找到具有相反意義的量。如「馬路寬2米」就不具有相反意義的量。
要注意小學時「+」、「-」號只是加、減運算子號。有了正、負數後,「+」、「-」號也是數的性質符號。
我們把小學學過的正整數和正分數統稱正有理數。在正整數前面放上負號,便得到負整數,在正分數前面加上負號,便得到負分數。負整數和負分數統稱負有理數。
正有理數、零和負有理數統稱為有理數。其中,正數和0也叫做非負數。
正整數(自然數)
正有理數 正分數
有理數 零
負有理數 負整數
負分數有理數還可以做如下的分類:
正整數(自然數)
整數 零
有理數 負整數
分數 正分數
負分數即「整數和分數統稱有理數」。要注意,有時為了研究的需要,整數也可以看作是分母為1的分數,這時分數包括整數。本章中的分數是指不包括整數的分數。
還要注意小數和分數的關係:分數都可以化成小數(有限小數或無限迴圈小數);小數中的有限小數和無限迴圈小數可以化成分數,都是有理數。無限不迴圈小數化不成分數,不是有理數,如π等。
2.數軸
在生活中,我們常常遇到標有數碼的量器,如刻度尺、溫度計、稱杆等。把數標在這樣的一條直的物品上,會給我們的研究帶來很大的方便。
為了在一條直線上標記有理數,先確定正、負數的分界點 零的位置,叫做原點。然後規定出正方向和單位。這樣就得到了一條能標記有理數的直線。
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。如
-2 -1 0 1 2 (a) 1 0 -1 (b)
10 (c)
-1都是數軸。但習慣上,一般畫圖形(a),畫一條水平放置的直線,規定從左到右的方向為正方向。(從原點向右為正方向,從原點向左為負方向)即原點右邊的數表示正數,原點左邊的數表示負數,原點表示零。
一定要記住原點、正方向和單位長度是數軸的三個要素,三者缺一不可。
數軸的引進把數與圖形上的點聯絡起來,所有的有理數都可以用數軸上的點表示,這是數與形的結合,數形結合是學習數學的一個重要方法。
3.相反數
象2和-2在數軸上到原點的距離相等。只有符號不同,我們稱作這兩個數互為相反數。
只有符號不同的兩個數,我們說其中一個是另一個的相反數。0的相反數是0。
通過對相反數在數軸上的位置的觀察,我們發現每一組相反數都分別在原點的兩邊,到原點的距離相等,只有符號不同。從而得到相反數的幾何意義:
在數軸上的原點兩旁,離開原點距離相等的兩個點所表示的兩個數叫做互為相反數。0的相反數是零。
一般地,數a的相反數是-a,這裡a表示任意的一個數,可以是正數、負數或0。例如當a=+7時,-a=-7,因為7的相反數是-7。當a=-5時,-a=-(-5)=5,因為-5的相反數是5。
當a=0時,-a=-0=0,因為0的相反數是0。
4.絕對值
從數軸上看(即絕對值的幾何意義),一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕對值記作|a|。
由上面絕對值的幾何意義很容易知道,|2|=2,|-2|=2,|0|=0。用文字語言敘述就是:
一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。
我們把上述關係用式子表示,即
a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )
|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=
-a (a<0 ) -a (a<0 ) -a (a≤0 )
從上面不同的三個角度來研究絕對值,我們發現有理數的絕對值不能是負數,只能是正數或0,即絕對值是一個非負數。
5.有理數大小的比較
由正有理數的大小排列我們可以知道「在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大」,於是規定「數軸上右邊的點所表示的數大於左邊的點所表示的數。」
根據這個規定,可以知道:正數都大於0;負數都小於0;正數大於一切負數。
對於兩個正數的大小,小學時我們已經知道。關於兩個負數的比較大小,我們雖然已經可以根據它們在數軸上的位置確定,但是我們希望把它們轉化為正數來進行比較,這樣會使計算簡便。如|-3|=3,|-2|=2,因為3>2,所以|-3|>|-2|而由數軸可知-3<-2,即「兩個負數,絕對值大的反而小」。
3樓:匿名使用者
有理數,在英語中是(rational number),源自古希臘語。其實並非「有道理的數」
的意思,而是「可比的數」,而無理數是「不可比的數」。
古希臘偉大的哲學家、數學家畢達哥拉斯所創裡的「畢達哥拉斯學派」堅信:「凡物皆數」。數的元素就是萬物的元素,世界是由陣列成的,世界上的一切沒有不可以用數來表示的,數本身就是世界的秩序。
換句話說就是,任意兩個數,都可以找到一個度量單位去度量,即任意兩個數都是「可比的」。比如讓你去丈量黑板的高和寬,不管你怎麼量(精確到小數多少位),都會有一個足夠小的數可以把這兩個數的度量。例如1.
134和4.27856,這兩個數,我們可以找到0.00001度量前面的兩數。
但有種情況例外,就是正方形的「邊長」和「對角線」的長度就找不到這樣一個度量單位。如果令「邊長」=1,那麼「對角線」= 根號2,我們知道「根號2」是無限不迴圈小數,顯然找不到一個度量單位來度量這個數,也就是說正方形的「邊長」和「對角線」的長度是「不可比」的。
所以說有理數就是整數或是整數的比(分數)。它的意義在於任何有理數都是「可比的」,或者說可丈量的。
4樓:匿名使用者
有理數是整數和分數的統稱,一切有理數都可以化成分數的形式。
除了無限不迴圈小數以外的實數統稱有理數。
有理數:22/3 6 17 56/980 12356/937等。
無理數:π=3.1415926535.......根號34呀,等等。。
很高興為你解答。
有理數的意義是什麼
5樓:demon陌
有理數意義是能夠表示成兩個整數之比的數,包括整數,有限小數和無限迴圈小數,整數和分數統稱為有理數。
(1)正數和零統稱為非負數;
(2)負數和零統稱為非正數;
(3)正整數和零統稱為非負整數;
(4)負整數和零統稱為非正整數.
一切有理數都可以用數軸上的點表示出來.在數軸上,右邊的點所對應的數總比左邊的點所對應的數大.正數都大於0,負數都小於0,正數大於一切負數.
注意:數軸上的點不都是有理數,如π.
有理數的意義。
6樓:多少風雨春秋改
有理數是整數和分數的統稱,一切有理數都可以
化成分數的形式。
7樓:匿名使用者
1.正數和負數
我們知道,數學中已經認識的數都是從社會實踐活動中抽象出來的。在小學階段學習的正整數,正分數和零都是表示某種量的多少。正數和負數的引入,是因為在實際生活中存在大量具有相反意義的量,它用小學學過的數,不能明確表示其相反的情況。
例如某天的某一時刻,在a城是零上10°C,在b城則是零下10°C,僅用度數「10」就不能把兩地的溫度區別描述出來。又如甲向北走5公里,乙向南走5公里,這個距離「5」也不能把甲、乙兩人走的方向描述出來。我們把「零上x度與零下x度」,「向北5公里和向南5公里」等稱之為具有相反意義的量。
若把其中某個意義的量規定為正量,則與它意義相反的另一個量就規定為負量。如「零上10°C」規定為正10°C,則零下10°C就為負10°C。把正量和負量的單位去掉,就得到正數和負數的概念。
像5、1.5、10 、9840等大於0的數叫做正數。在正數前面加上「-」(讀作負)號的數,如-5、-1.
5、-10 、 -9840等叫做負數。其中,正數前面的「+」號可以忽略不寫。
在有關具有相反意義的量的問題中,是否有「既不向上,也不向下」,「既不向北,也不向南」的情況呢?答案是肯定的。「正的量」和「負的量」的分界點,是既不正也不負的,這點應該用小學學過的「零」來表示。
所以零既不是正數,也不是負數。而是正數、負數的分界,是唯一的一個真正的中性數。過去,零表示「沒有」,在學習了具有相反意義的量以後,我們知道它還有豐富的實踐意義。
如0°C,不是表示沒有溫度,而是表示冰點這樣一個固定的溫度。
雖然生活中存在大量具有相反意義的量,但不是所有的量都能找到具有相反意義的量。如「馬路寬2米」就不具有相反意義的量。
要注意小學時「+」、「-」號只是加、減運算子號。有了正、負數後,「+」、「-」號也是數的性質符號。
我們把小學學過的正整數和正分數統稱正有理數。在正整數前面放上負號,便得到負整數,在正分數前面加上負號,便得到負分數。負整數和負分數統稱負有理數。
正有理數、零和負有理數統稱為有理數。其中,正數和0也叫做非負數。
正整數(自然數)
正有理數 正分數
有理數 零
負有理數 負整數
負分數有理數還可以做如下的分類:
正整數(自然數)
整數 零
有理數 負整數
分數 正分數
負分數即「整數和分數統稱有理數」。要注意,有時為了研究的需要,整數也可以看作是分母為1的分數,這時分數包括整數。本章中的分數是指不包括整數的分數。
還要注意小數和分數的關係:分數都可以化成小數(有限小數或無限迴圈小數);小數中的有限小數和無限迴圈小數可以化成分數,都是有理數。無限不迴圈小數化不成分數,不是有理數,如π等。
2.數軸
在生活中,我們常常遇到標有數碼的量器,如刻度尺、溫度計、稱杆等。把數標在這樣的一條直的物品上,會給我們的研究帶來很大的方便。
為了在一條直線上標記有理數,先確定正、負數的分界點 零的位置,叫做原點。然後規定出正方向和單位。這樣就得到了一條能標記有理數的直線。
規定了原點、正方向和單位長度的直線叫做數軸。如
-2 -1 0 1 2 (a) 1 0 -1 (b)
10 (c)
-1都是數軸。但習慣上,一般畫圖形(a),畫一條水平放置的直線,規定從左到右的方向為正方向。(從原點向右為正方向,從原點向左為負方向)即原點右邊的數表示正數,原點左邊的數表示負數,原點表示零。
一定要記住原點、正方向和單位長度是數軸的三個要素,三者缺一不可。
數軸的引進把數與圖形上的點聯絡起來,所有的有理數都可以用數軸上的點表示,這是數與形的結合,數形結合是學習數學的一個重要方法。
3.相反數
象2和-2在數軸上到原點的距離相等。只有符號不同,我們稱作這兩個數互為相反數。
只有符號不同的兩個數,我們說其中一個是另一個的相反數。0的相反數是0。
通過對相反數在數軸上的位置的觀察,我們發現每一組相反數都分別在原點的兩邊,到原點的距離相等,只有符號不同。從而得到相反數的幾何意義:
在數軸上的原點兩旁,離開原點距離相等的兩個點所表示的兩個數叫做互為相反數。0的相反數是零。
一般地,數a的相反數是-a,這裡a表示任意的一個數,可以是正數、負數或0。例如當a=+7時,-a=-7,因為7的相反數是-7。當a=-5時,-a=-(-5)=5,因為-5的相反數是5。
當a=0時,-a=-0=0,因為0的相反數是0。
4.絕對值
從數軸上看(即絕對值的幾何意義),一個數a的絕對值就是數軸上表示數a的點與原點的距離。數a的絕對值記作|a|。
由上面絕對值的幾何意義很容易知道,|2|=2,|-2|=2,|0|=0。用文字語言敘述就是:
一個正數的絕對值是它本身;一個負數的絕對值是它的相反數;0的絕對值是0。
我們把上述關係用式子表示,即
a (a>0 ) a (a≥0 ) a (a>0 )
|a|= 0 (a=0 ) 或|a|= 或|a|=
-a (a<0 ) -a (a<0 ) -a (a≤0 )
從上面不同的三個角度來研究絕對值,我們發現有理數的絕對值不能是負數,只能是正數或0,即絕對值是一個非負數。
5.有理數大小的比較
由正有理數的大小排列我們可以知道「在數軸上表示的兩個數,右邊的數總比左邊的數大」,於是規定「數軸上右邊的點所表示的數大於左邊的點所表示的數。」
根據這個規定,可以知道:正數都大於0;負數都小於0;正數大於一切負數。
對於兩個正數的大小,小學時我們已經知道。關於兩個負數的比較大小,我們雖然已經可以根據它們在數軸上的位置確定,但是我們希望把它們轉化為正數來進行比較,這樣會使計算簡便。如|-3|=3,|-2|=2,因為3>2,所以|-3|>|-2|而由數軸可知-3<-2,即「兩個負數,絕對值大的反而小」。
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