1樓：齊峰環境
其實相同了很簡單,請看：
1.對於中間變數為一元函式的情形：
使用換元法 算外圍的,然後在乘以內圍的 例 y=cos（sinx）的導 把sinx 看作t 得y=--sint 再乘以sinx的導 得最終結果y=--sin（cosx）
2.中間變數為多元函式的情形：
舉個例子：z=f(x+y,xy,x),u=x+y,v=xydz/dx=(df/du)(du/dx)+(df/dv)(dv/dx)+df/dx,（「d」表示偏導的符號）
這裡的df/dx,是把u,y看作不變,僅僅是對z=f(x+y,xy,x)中的第三個位置的x求導
2樓：己亮禾代
^證明：
分析，該題考查了齊次函式和尤拉定理
根據已知：
f(tx,ty)=(t^n)f(x,y)
上式中對t求導，則：
[∂f/∂(tx)]·[d(tx)/dt]+[∂f/∂(ty)]·[d(ty)/dt]
=n[t^(n-1)]f(x,y)
[∂f/∂(tx)]·x+[∂f/∂(ty)]·y=n[t^(n-1)]f(x,y)
因為f(x,y)存在二階偏導，因此：
對上式再求關於t的導數，則：
·x+·y
=n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)因為二階偏導連續，因此混合偏導相等，因此：
[∂²f/∂(tx)²]·x²
+[∂²f/∂(tx)∂(ty)]·yx
+[∂²f/∂(ty)∂(tx)]·xy
+[∂²f/∂(ty)²]·y²
=n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)x²[∂²f/∂(tx)²]
+2xy[∂²f/∂(tx)∂(ty)]+y²[∂²f/∂(ty)²]
=n(n-1)[t^(n-2)]f(x,y)因為上式對任何t都成立，不妨令t=1，則：
x²(∂²f/∂x²)
+2xy(∂²f/∂x∂y)+y²(∂²f/∂y²)=n(n-1)f(x,y)證畢！
3樓：精銳長寧數學組
證法一：先證明個引理
f(x)在點x0可導的充要條件是在x0的某鄰域u(x0)內，存在一個在點x0連續的函式h(x),使f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0)從而f'(x0)=h(x0)
證明：設f(x)在x0可導，令 h(x)=[f(x)-f(x0)]/(x-x0),x∈u'(x0)(x0去心鄰域)；h(x)=f'(x0),x=x0
因lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=f'(x0)=h(x0)
所以h(x)在點x0連續，且f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0),x∈u(x0)
反之，設存在h(x),x∈u(x0),它在點x0連續，且f(x)-f(x0)=h(x)(x-x0),x∈u(x0)
因存在極限lim(x->x0)h(x)=lim(x->x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=lim(x->x0)f(x)=h(x0)
所以f(x)在點x0可導，且f'(x0)=h(x0)
引理證畢。
設u=φ(x)在點u0可導，y=f(u)在點u0=φ(x0)可導，則複合函式f(x)=f(φ(x))在x0可導，且f'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證明：由f(u)在u0可導，由引理必要性，存在一個在點u0連續的函式h(u),使f'(u0)=h(u0),且f(u)-f(u0)=h(u)(u-u0)
又由u=φ(x)在x0可導，同理存在一個在點x0連續函式g(x),使φ'(x0)=g(x0),且φ(x)-φ(x0)=g(x)(x-x0)
於是就有，f(φ(x))-f(φ(x0))=h(φ(x))(φ(x)-φ(x0))=h(φ(x))g(x)(x-x0)
因為φ，g在x0連續，h在u0=φ(x0)連續，因此h(φ(x))g(x)在x0連續，再由引理的充分性可知f(x)在x0可導，且
f'(x0)=f'(u0)φ'(x0)=f'(φ(x0))φ'(x0)
證法二：y=f(u)在點u可導，u=g(x)在點x可導，則複合函式y=f(g(x))在點x0可導，且dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
證明：因為y=f(u)在u可導，則lim(δu->0)δy/δu=f'(u)或δy/δu=f'(u)+α(lim(δu->0)α=0)
當δu≠0，用δu乘等式兩邊得，δy=f'(u)δu+αδu
但當δu=0時，δy=f(u+δu)-f(u)=0,故上等式還是成立。
又因為δx≠0,用δx除以等式兩邊，且求δx->0的極限，得
dy/dx=lim(δx->0)δy/δx=lim(δx->0)[f'(u)δu+αδu]/δx=f'(u)lim(δx->0)δu/δx+lim(δx->0)αδu/δx
又g(x)在x處連續(因為它可導),故當δx->0時，有δu=g(x+δx)-g(x)->0
則lim(δx->0)α=0
最終有dy/dx=(dy/du)*(du/dx)
4樓：破曉大神
鏈式法則~
例如f(x)=g(2x)
f'(x)=g'(2x)*(2x)'
多元複合函式求導法則？
5樓：匿名使用者
全導抄數的概念就是對只有一襲個自變數而言的.一個多元函式無論與其他函式多少次複合,只要最終只有一個自變數,我們對這個唯一的自變數求導,求得的就是全導數.
而多元函式,無論它是否是與多元函式還是一元函式複合,只要最終函式的自變數不止一個,那麼就不存在全導數了,對各個自變數分別求得的就是偏導數.
例如z=f(u),u=g(x,y),複合函式z=f(g(x,y))就不存在對自變數x或y的全導數,只有對x或y的偏導數.
多元複合函式高階偏導求法
6樓：戰wu不勝的小寶
多元複合函式高階偏導求法如下：
一、多元複合函式偏導數
上面公式可以簡單記為「連線相乘，分線相加」；也可以藉助微分形式不變性，即函式有幾個中間變數，則偏導有幾部分組成（不排除個別部分為零）.
二、多元複合函式二階偏導數
對於複合函式二階偏導數，關鍵需要理解函式對中間變數的偏導數依然為多元複合函式，其關係與原來因變數與自變數關係完全一致，即：
先畫出關係圖：
解決多元複合抽象函式高階偏導問題關鍵理清因變數與自變數關係，在解題過程中最後畫出關係圖，這樣可以避免多寫或漏寫。
偏導數的幾何意義：
表示固定面上一點的切線斜率。
偏導數 f'x(x0,y0) 表示固定面上一點對 x 軸的切線斜率；偏導數 f'y(x0,y0) 表示固定面上一點對 y 軸的切線斜率。
高階偏導數：如果二元函式 z=f(x,y) 的偏導數 f'x(x,y) 與 f'y(x,y) 仍然可導，那麼這兩個偏導函式的偏導數稱為 z=f(x,y) 的二階偏導數。二元函式的二階偏導數有四個：
f"xx，f"xy，f"yx，f"yy。
f"xy與f"yx的區別在於：前者是先對 x 求偏導，然後將所得的偏導函式再對 y 求偏導；後者是先對 y 求偏導再對 x 求偏導。當 f"xy 與 f"yx 都連續時，求導的結果與先後次序無關。
7樓：匿名使用者
高等數學第七版p70頁，例8
複合函式求導：δ
u/δx=(δu/δr)*(δr/δx)=-x/(r^3)-x/(r^3) 關於x的偏導數：(δu/δx)^2=δ[-x/(r^3)]/δx=-
=-=-
=-=-1/r^3+3x^2/r^5
8樓：zero醬
求複合函式的偏導數，關鍵在於找好路徑。鏈式法則是一個很好的解決工具。
拓展資料：
9樓：閃亮登場
多元複合函式的高階偏導數是考研數學的重要考點，同時也是多元函式微分學部分的難點，考查題型可以是客觀題也可以是主觀題，該知識點還經常與微分方程一起出綜合題。
解決多元複合函式高階偏導關鍵在於畫出關係圖，同時弄明白函式偏導數依然為多元複合函式。
一、多元複合函式偏導數
公式可以簡單記為「連線相乘，分線相加」；也可以藉助微分形式不變性，即函式有幾個中間變數，則偏導有幾部分組成（不排除個別部分為零）.
二、多元複合函式二階偏導數
對於複合函式二階偏導數，關鍵需要理解函式對中間變數的偏導數依然為多元複合函式，其關係與原來因變數與自變數關係完全一致，即：
先畫出關係圖：
解決多元複合抽象函式高階偏導問題關鍵理清因變數與自變數關係，在解題過程中最後畫出關係圖，這樣可以避免多寫或漏寫.
複合函式求導公式是如何推匯出來的？
複合函式極限，複合函式的極限運演算法則
設limf x limg x 存在，且令 則有以下運演算法則 如果空心鄰域內有其他點x1,g x1 u0,則g u0,x不一定趨近於x0，可能趨近於x1去了，後面的做法就沒有依據了。我給你仔細地看了一下，又仔細地想了一下，這個限制是為了保證 u u0 0，而不會出現 u u0 0的情況，但是其實，只...
關於複合函式的極限運演算法則，複合函式的極限運演算法則
1 你已理解,從證明過程看是需要的 這就對了 事實上,這種需要,是為了不失一般性,為了符合 極限的回 定義 之需要,並不是g 答x 不符合這個條件就不成立了的那種需要.而極限這樣定義,卻是為了研究那些趨於x0而不達到x0之問題,至於達到x0的情況,是比達不到的情況更簡單的.2 具體說,你不可能舉出反...
問 關於多元函式求導的問題請問答案中導數的數字下標是什麼意思？還要解釋一下f12是怎麼來的
二元函式f對其第一 個自變數的偏導數記作f1 對第二個自變數的偏導數記作內f2 它的好處是不用引入容中間變數的符號。如果引入了中間變數u,v，那麼f1 就是f u,v 對u的偏導數，f2 是f u,v 對v的偏導數。f1 與f2 還是u,v的函式，所以還是x,y的複合函式，繼續使用複合函式的求導法則...