關於複合函式的極限運演算法則,複合函式的極限運演算法則

2021-03-10 20:48:11 字數 5638 閱讀 1205

1樓:匿名使用者

(1)你已理解,"從證明過程看是需要的".這就對了!事實上,這種需要,是為了不失一般性,為了符合"極限的回

定義"之需要,並不是g(答x)不符合這個條件就不成立了的那種需要.而極限這樣定義,卻是為了研究那些趨於x0而不達到x0之問題,至於達到x0的情況,是比達不到的情況更簡單的.

(2)具體說,你不可能舉出反例.因為當g(x)等於u0時,結論必真.

(3)這樣理解:是為了符合極限定義中"(x-x0)的絕對值》0"之要求,當不符合》0時,極限仍成立,用"連續"的情況來理解:見同濟第五版《高等數學》p61的前7行,再參看p66定理3定理4,應該可以想明白了.

2樓:欲乘風歸去者

我想這個問bai

題也想了很久,du我的看法是這個zhi條件是這個定理的必dao要條件專,沒有這個條件屬這個定理是不成立的,就比如上面那個舉出來的分段函式的反例。這個定理其實關心的是在u0附近的複合函式的取值,至於g(x)=u0時,複合函式的取值則不是這個定理所關心的,因為f(x)可以在這一點連續,不連續,甚至還可以沒有意義,這就導致了複合函式在該點需要另外分析。

3樓:匿名使用者

你可復以這樣想,如果補充一制條性質:對任意的ε大於0,存在δ大於0,當x-xo的絕對值小於δ時,f(x)-a的覺對值小於ε時,f(x)的極限是a。這樣證明你那個問題時就可以去掉g(x)不等於uo這個條件了。

4樓:匿名使用者

極限是種趨勢 與這點的值無關

極限不用管這一點x0 也管不到這一點

lz多看看極限的定義哦

5樓:匿名使用者

你要是學高數復

的 這個基本不制用太關注 數學分析研究bai的深入一些

去心du鄰域的限定使得比如zhi一些點,在dao該點函式無意義,但是該點鄰域內有意義,這樣的該點的極限仍然存在我記不清了,大概是這樣的 ,你可以查閱一些數學分析的書,比如 高教的 數學分析教程

6樓:你好蒼井空

這個是必須的,理論上的東西就不多說,你可以看證明過程。

7樓:才煊風若菱

|令u=g(x),又u0=lim(x→x0)g(x)

對於a=im(u→u0)f(u)

任意給定ε>0,都存在δ>0,使得當0<|回u-u0|<δ--①時,|f(u)-a]|<ε

對於u0=lim(x→x0)g(x)

即對於上面給定的答δ,存在ξ>0,使得當0<|x-x0|<ξ時,|g(x)-u0|<δ--②

取ρ=min,當0<|x-x0|<ρ時,0<|g(x)-u0|<ρ成立

【即①②兩個不等式同時成立】

即對於極限lim(u→u0)f(u)=a而言

任意給定ε,當0<|u-u0|<ρ,都有|f[g(x)]-a|=|f(u)-a|<ε,從而極限成立

複合函式的極限運演算法則

8樓:是你找到了我

設limf(x),bailimg(x)存在,du且令

則有以下運算zhi

法則:dao

擴充套件資料:

一、兩個重內要極限:

(其中e=2.7182818……,是一個容無理數,也就是自然對數的底數)

二、極限的性質

1、唯一性:若數列的極限存在,則極限值是唯一的,且它的任何子列的極限與原數列的相等。

2、有界性:如果一個數列』收斂『(有極限),那麼這個數列一定有界。但是,如果一個數列有界,這個數列未必收斂。例如數列 :「1,-1,1,-1,……,(-1)n+1」.

9樓:匿名使用者

書上的邏輯是正

copy確的。

注意證明中第一行的【要證…】★

以及第五行的【由於…】☆

其中★是要【證極限】

其中☆是在【用極限】

★是要對任一任意小的正數證明極限定義成立。

☆是已知對【任一個】任意小的正數都有極限定義成立,從而對【這一個g】也有極限定義成立。

退一步說,在情況☆,既然對任意小的都行,

那麼,即使g不是那麼小也行。

或者,如果g不是那麼小,想取一個足夠小的d比g小,證明也行得通。

都行,不影響本質。

複合函式極限運演算法則裡的條件

10樓:欲乘風歸去者

我想這個

問題也想了copy很久,我的看法是這個條件

是這個定理的必要條件,沒有這個條件這個定理是不成立的,就比如上面那個舉出來的分段函式的反例。這個定理其實關心的是在u0附近的複合函式的取值,至於g(x)=u0時,複合函式的取值則不是這個定理所關心的,因為f(x)可以在這一點連續,不連續,甚至還可以沒有意義,這就導致了複合函式在該點需要另外分析。

11樓:我的寶貝

x*sin(1/x)

當x不等於1/nπ時,x趨近於0時,此函式的極限並不是1,還是0,因為一個

無窮向量乘以一內個有界量還是無窮小容量

我想,你肯定是把x*sin(1/x)和(sinx)/x搞混淆啦,前者是x趨於無窮大的極限是1,而後者是x趨於0的極限是1

12樓:light冰楓

你根本也沒有說明白你的f(x)和g(x)是什麼?總之你說的不對;對於x*sin(1/x)它的極限就是0,無論內你取容 x等於或不等於1/nπ時

下面我就給你解釋一下為什麼要強調ψ(x)≠0,

其實是為了強調ψ(x)不能恆等於u0,否則會出現

如ψ(x)=1 (x∈r),f(x)=2 x=1 ; f(x)為分段函式 則顯然lim x→0ψ(x)=1,lim x→0f(ψ(x))=2

=x x≠1 但是lim u→1 f(u)=1≠ lim x→0f(ψ(x))

只要不恆等於u0就可以

如ψ(x)=sin(x),設u0=0,這個就符合這個法則的條件,雖然在(-2π,2π)的去心鄰域中存在ψ(x)=u0的點,看似與定義相悖,但是我們可以找到更小的去心鄰域如(-1/2π,1/2π),這就不存在ψ(x)=u0的點,再往深裡考慮,對於x0這點只要能夠找到一段很小的鄰域沒有ψ(x)=u0,就符合條件。

同理如果我們能夠找到一段x0的去心鄰域,ψ(x)恆等於u0,則就不符合條件。

13樓:匿名使用者

梳理如下:

第一個問題:一定要有條件「ψ(x)≠u0」。62616964757a686964616fe4b893e5b19e31333330353632

例①,ψ(x)=1 (x∈r),

f(u)為分段函式:當u≠1時,f(u)=u;當u=1時,f(u)=2,

取x0=1,則u0=1,【ψ(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=a,lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2,2≠1,

即lim(x→1)f(ψ(x))≠a,即定理1的結論不成立。

第二個問題:關於例子x*sin(1/x),

首先,這個函式是由兩個函式的乘積構成的:f(x)= x,g(x)=sin(1/x):f(x)*g(x)=x*sin(1/x),

而不是由兩個函式的複合構成的。

僅從這一點來說,把這個例子用在這裡並不合適。

不過,這其中的第二個函式sin(1/x)是由兩個函式的複合構成的:ψ(x)=1/x,f(u)=sinu。

其次,函式x*sin(1/x)當x→0時的極限確定是0,這是因為一個無窮小量乘以一個有界量還是無窮小量。

這個也可以通過x*sin(1/x)的影象來理解。

所以,關於例子x*sin(1/x),無論你取 x等於或不等於1/nπ,只要x→0,它的極限就是0。

對此,原問題中的陳述不正確。

從這一點來說,把這個例子用在這裡也不合適。

合適的例子是上面的例①。

第三個問題:細化一下,

在定理1中是說,「在x0的某去心鄰域內ψ(x)≠u0」,

也就是說,是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以。

例如,ψ(x)=sinx (x∈r),

取x0=0,則u0=0,

【ψ(x)≠u0在x0的某去心鄰域內成立,比如在去心鄰域(-1/2π,1/2π)成立】

【而在x0的以遠,比如在去心鄰域(-2π,2π),ψ(x)≠u0就不成立】

這種情況屬於符合定理1中的條件「在x0的某去心鄰域內ψ(x)≠u0」。

如果不存在這樣的鄰域,則就不符合條件。

關於複合函式的極限運演算法則的小問題??

14樓:匿名使用者

有個定理(也許是引理?……):

若lim(x→x0)f(x)=y0,lim(y→y0)g(y)=l,且存在正數a使得在(x0-a,x0+a)內f(x)≠y0,則lim(x→x0)g(f(x))=l (證明就版是直接把極限的定權義套進去就完了)

在這裡,f(x)=lnx,g(y)=e^y,可以看出f(x)確實滿足那個看起來很奇葩的條件「存在正數a使得在(x0-a,x0+a)內f(x)≠y0」。

嚴格的說法就是,你做到最後發現lim(x→x0)f(x)(即lnx)存在(=y0),且lim(y→y0)g(y)(即e^y)存在(=g(y0))(因為g連續嘛),所以原極限=lim(x→x0)g(f(x))=g(y0)

關於「複合函式的極限運演算法則」證明過程的幾個疑問(證明過程詳見高等數學第五版p48)

15樓:

答:對於問題1:②中為什麼一定要是「對於上面得到的η>0」?

高等數學中函式極限的定義都是由 「ε-δ」語言描述的,例如:函式f(x)在x0處的極限定義:任取ε>0,存在δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε成立,則f(x)在x0處的極限為a。

這個定義簡單來說:符合「ε-δ」語言,則函式的極限為a

注意:這個定義反過來講也是對的:如果「f(x)在x0處的極限為a」,那麼 「任取ε>0,存在δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時,有|f(x)-a|<ε成立」。

簡單說來,就是函式極限為a,則符合「ε-δ」語言

在「複合函式的極限運演算法則」的證明過程中,其實是反覆的將這個定義,正的用,反的用。

要證複合函式的極限,就相當去證明這個命題:任取ε>0,存在δ>0,使得當0<|x-x0|<δ時,|f[g(x)]-a|<ε成立;是一個真命題就可以了。

開始證明:

由於lim(u→u0)f(u)=a,任取ε>0,都存在η>0,當0<|u-u0|<η時,|f(u)-a|<ε成立——①

又由於lim(x→x0)g(x)=u0,對於上面得到的η>0,存在δ1>0,使得當0<|x-x0|<δ1時,|g(x)-u0|<η成立——②

這兩句話都是將函式極限的定義反著用:函式極限為a,則符合「ε-δ」語言。

在②中出現η它的含義與「ε-δ」語言中的ε都是一樣的,都表示無窮小的數,在函式極限的極限定義中也一定要大於0。 同樣表示無窮小為什麼寫不同的字母呢?

原因關鍵在於:用「ε-δ」語言證明函式的極限時,不同的函式在極限證明中,用到的ε(無窮小)會不相同的。①②中是對不同的函式而言的,因此無窮小需要用不同的字母表示

對於問題(2)「由假設...成立」怎麼就推出了後面的「|f[g(x)]-a|=|f(u)-a|<ε成立」?

「由假設...成立」這裡的假設就是:複合函式極限運演算法則 的前提條件。

準確的我寫不出,自己在書上看吧

複合函式極限,複合函式的極限運演算法則

設limf x limg x 存在,且令 則有以下運演算法則 如果空心鄰域內有其他點x1,g x1 u0,則g u0,x不一定趨近於x0,可能趨近於x1去了,後面的做法就沒有依據了。我給你仔細地看了一下,又仔細地想了一下,這個限制是為了保證 u u0 0,而不會出現 u u0 0的情況,但是其實,只...

關於複合函式的極限運演算法則的小問題

有個定理 也許是引理?若lim x x0 f x y0,lim y y0 g y l,且存在正數a使得在 x0 a,x0 a 內f x y0,則lim x x0 g f x l 證明就版是直接把極限的定權義套進去就完了 在這裡,f x lnx,g y e y,可以看出f x 確實滿足那個看起來很奇葩...

冪指函式f x g x 的極限運演算法則為什麼規定f x 0且不等於1?f x 大於0是因為它是由e lnf x g x 推

你先把法則 bai完整地敘述 du一下,我沒見過zhi哪本書上專門為dao這個還列一個所謂的法則回出來,完全沒答必要。如果要追究的話確實就是f x 1是平凡的情形,不值得研究。但是如果法則的條件lim f x 1,那就有必要了,因為lim g x oo的時候會有影響。不管怎麼說,這個取決於命題的敘述...