1樓：電燈劍客
一般來講對於n階實矩陣a和b而言，確實不需要對稱的條件，只要存在可逆矩陣c滿足a=cbc^t就表示a和b合同
至於秩和行列式的性質，和一般的相抵變換差不太多，這個應該沒有任何難度吧
合同矩陣需要是實對稱的麼？
2樓：楊必宇
合同矩陣是對稱的。兩個矩陣a和b是合同的，當且僅當存在一個可逆矩陣 c，使得c^tac=b，則稱方陣a合同於矩陣b。
3樓：匿名使用者
合同矩陣抄是對稱的。
定義：合同關
bai系du是一個等價關係，也zhi就是說滿足：
1、反身性dao：任意矩陣都與其自身合同；
2、對稱性：a合同於b，則可以推出b合同於a；
3、傳遞性：a合同於b，b合同於c，則可以推出a合同於c；
4、合同矩陣的秩相同。
4樓：電燈劍客
你給的例子是合同的，如果這兩個矩陣分別記成a和b，取c=1 0 0
0 1 0
0 -1 1
那麼a=cbc^t
但是一般來講非對稱矩陣合同關係是很複雜的，特徵值的資訊不足以確定是否合同
對稱矩陣，合同一定相似嗎？
5樓：墨汁諾
未必，只
bai需要給舉個反例就行。du
對角矩陣diag(3,3,3)合同於單位zhi矩dao陣，而
版單位矩陣只能和單位矩陣相似權，顯然diag(3,3,3)不相似於單位矩陣。
合同與相似是特殊的等價關係，若兩個矩陣相似或合同，則這兩個矩陣一定等價，反之不成立。相似與合同不能互相推導，但是如果兩個實對稱矩陣是相似的，那肯定是合同的。
兩矩陣合同的概念：設a,b是兩個n階方陣，若存在可逆矩陣c，使得c^tac=b，則稱方陣a與b合同，記作 a≃b。
兩矩陣相似的概念：設a/b為n階矩陣，如果有n階可逆矩陣p存在，使得p^(-1)ap=b，則稱矩陣a與b相似，記為a~b。
6樓：2016李科
1.前提：首復先大前提，
制實對稱矩陣。非實對稱矩陣，合bai同相du似沒有關係。這是因為實對zhi稱一dao
定能相似對角化，而下面分析就是在對角陣下分析。
2.具體分析：合同是在二次型那塊引出的，實對稱矩陣通過相似對角化一般只能化為標準型，但是通過可逆線性變換就能變為規範型，即合同的矩陣最後都能化為主對角線為1,0,-1的形式，即合同只區分正負慣性指數；而相似則以特徵值是否相同進行區分。
等價表示paq=b，相似表示p『ap=b，合同p^ap=b(p,q均為可逆矩陣p『表示p的逆,p^表示p的轉置,手機上不太好打字)
3.結論及簡單理解：可以簡單理解為：相似是指特徵值λ相同，合同是指特徵值中的正的負的個數相同(即正負慣性指數相同)
7樓：匿名使用者
未必，只需要給你舉個反例就行了。對角矩陣diag(3,3,3)合同於單位矩陣，而單位矩陣只能和單位矩陣相似，顯然diag(3,3,3)不相似於單位矩陣。
為什麼實對稱矩陣相似則一定合同？？ 有證明嗎
8樓：假面
相似bai和合同從定義出du發的話，沒有任何關係zhi，只是定義看起來dao比較相似而專已，一個
屬-1一個t。
但是實對稱陣在等價對角陣的變換過程中用到的那個變換矩陣p可以是一個正交矩陣，也就是逆矩陣和置換矩陣合併了，因此實對稱陣與對角陣的相似與合同才有關係。
實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
9樓：電燈劍客
譜分解定理：實對稱矩陣正交相似於對角陣
也就是說如果a是實對稱矩陣，不僅存在可逆陣版p使得d=p^ap是對角陣，而權且還可以要求p是正交陣
這樣一來d=p^ap=p^tap，即正交變換既是相似變換又是合同變換樓上完全在亂講，比如a=b=i，p取成非對稱的可逆陣
10樓：匿名使用者
實對稱矩陣相似，有p^-1ap=b，其p必然為對稱陣，對兩邊取轉置有，p^tap^-t=b,顯然有
p^t=p^-1,如果不相等，則與相似的唯一性相矛盾。
11樓：lost_凌
我想知道是怎麼證明的
如何推出實對稱矩陣a與其逆矩陣合同？
12樓：一碗湯
設a的逆bai矩陣為b
則ab=e（單位矩陣）du
因為a對稱zhi，a=aba=a『ba
又因a可逆
故a與daob合同。
實對稱矩陣回：如果
答有n階矩陣a，其矩陣的元素都為實數，且矩陣a的轉置等於其本身（aij=aji）(i,j為元素的腳標)，則稱a為實對稱矩陣。
合同：是矩陣之間的一個等價關係，經過非退化的線性替換,新二次型的矩陣與原二次型的矩陣是合同的。
擴充套件資料：
1、實對稱矩陣主要性質：
1.實對稱矩陣a的不同特徵值對應的特徵向量是正交的。
2.實對稱矩陣a的特徵值都是實數，特徵向量都是實向量。
3.n階實對稱矩陣a必可對角化，且相似對角陣上的元素即為矩陣本身特徵值。
4.若λ0具有k重特徵值 必有k個線性無關的特徵向量，或者說必有秩r(λ0e-a)=n-k，其中e為單位矩陣。
2、合同的性質
數域p上n*n矩陣a,b稱為合同的，如果有數域p上可逆的n*n矩陣c,使b=c'ac.
矩陣合同變換是在矩陣左右兩邊分別乘c'和c,其中c為非退化矩陣.
合同變換是在分析二次型的化簡過程中產生的，二次型的矩陣通過合同變換化為形式上比較簡單的對角陣,即標準型和規範型，給研究二次型的性質帶來了很大方便。
13樓：真相弟
設a的逆矩陣為b，則ab=e（單位矩陣），因為a對稱，a=aba=a『ba，又因a可逆，故a與b合同
合同矩陣怎麼找？
14樓：匿名使用者
合同矩陣：兩個實對稱矩陣a和b，如存在可逆矩陣p，使得
1 對於任一實係數n元二次型x'ax，要化為標準型，實際上就是要找一個可逆變換x=cy，將它化為y'by的形式，其中b為對角陣。則c'ac=b,b就是a的一個合同矩陣了。
2 如果你想要的是將a經合同變換化為b時的變換矩陣c，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
（1）配方法：如果二次型中含變數xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項係數aij不為0，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。
例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3
=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;
作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標準型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式x=cy形式，其中c=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號表示矩陣行結束）就是合同變換中的變換矩陣。
例，f=2x1x2-6x1x3,無平方項，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中
f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;
再作變換z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成
f=2z1^2-2z2^2這種標準二次型。
最後將再次用的變換寫成矩陣形式，x=c1*y,y=c2*z的形式，x=c1*c2*z,則c=c1*c2就是所求（具體計算略）。
（2）初等變換法：
將二次型的矩陣a與同階單位陣i合併成n_2n的矩陣（a|i），在這個矩陣中作初等行變換並對子塊a再作同樣的初等列變換，當將a化為對角陣時，子塊i將會變為c』。
（3）正交變換法：
先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i=1，2，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣t，那麼正交變換x=ty將會把二次型x'ax化為標準形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
15樓：一切切皆寂寞作
1 對於任一實係數n元二次型x'ax，要化為
標準型，實際上就是要找一個可逆變換x=cy，將它化為y'by的形式，其中b為對角陣。則c'ac=b,b就是a的一個合同矩陣了。
2 如果你想要的是將a經合同變換化為b時的變換矩陣c，常用的方法有3種，即配方法、初等變換法和正交變換法。
（1）配方法：如果二次型中含變數xi的平方項，則先將含xi的項集中，按xi配成完全平方，直至都配成平方項；如果二次型不含平方項，但某混合項係數aij不為0，可先通過xi=yi+yj，xj=yi-yj，xk=yk（k不是i或j）這一可逆變換使二次型中出現平方項後，按前一方法配方。
例，f=x1^2+x2^2+3x3^2+4x1x2+2x1x3+2x2x3=(x1^2+4x1x2+2x1x3)+x2^2+3x3^2+2x2x3
=(x1+2x2+x3)^2-3x2^2+2x3^2-2x2x3=……=（x1+2x2+x3)^2-3(x2+1/3*x3)^2+7/3*x3^2;
作變換y1=x1+2x2+x3,y2=x2+1/3*x3,y3=x3,就得標準型f=y1^2-3y2^2+7/3*y3^2.
將上述變換求出逆變換x1=y1-2y2-5/3*y3,x2=y2-1/3*y3,x3=y3,寫成矩陣形式x=cy形式，其中c=（1，-2，-5/3；0，1，-1/3；0，0，1）（分號表示矩陣行結束）就是合同變換中的變換矩陣。
例，f=2x1x2-6x1x3,無平方項，則先作變換x1=y1+y2,x2=y1-y2,y3=x3,代入f中
f=2y1^2-2y2^2-6y1y3-6y2y3=2(y1-3/2*y3)^2-2(y2+3/2*y3)^2;
再作變換z1=y1-3/2*y3,z2=y2+3/2*y3,z3=y3用逆變換y1=z1+3/2*z3,y2=z2-3/2*z3,y3=z3,就能把f化成
f=2z1^2-2z2^2這種標準二次型。
最後將再次用的變換寫成矩陣形式，x=c1*y,y=c2*z的形式，x=c1*c2*z,則c=c1*c2就是所求（具體計算略）。
（2）初等變換法：
將二次型的矩陣a與同階單位陣i合併成n_2n的矩陣（a|i），在這個矩陣中作初等行變換並對子塊a再作同樣的初等列變換，當將a化為對角陣時，子塊i將會變為c』。
（3）正交變換法：
先寫出二次型f的tdbl，它是實對稱矩陣，求出全部特徵值λi（i=1，2，……，n）；再對每一特徵值寫出它所對應的單位特徵向量（特徵值相同的不同特徵向量注意正交化）；把上述單位正交特徵向量作為矩陣的列構造正交矩陣t，那麼正交變換x=ty將會把二次型x'ax化為標準形f=λ1*y1^2+λ2*y2^2+……+λn*yn^2
如果把n階實對稱矩陣按合同分類，即兩個n階實對稱矩陣屬於同一類當且僅當它們合同，問有幾類
去掉實對稱也bai 是成立的.任一矩du 陣都有實相合zhi 標準型,即對dao角線上只是1或 1或0.只要實相合專標準型相同屬,兩個矩陣必相合,反之,若不同必不想和.所以本題就是問n階矩陣有多少相合類.這個你自己算下,在n個空位不計次序填入1 0或 1,有多少種可能就行了.這是高中概率,不解了我就...
XAX一定是對角矩陣嗎
在數學中，矩陣 matrix 是一個按照長方陣列排列的複數集合，最早來自於方程組的係數及常數所構成的方陣。這一概念由19世紀英國數學家凱利首先提出。由 m n 個數aij排成的m行n列的數表稱為m行n列的矩陣，簡稱m n矩陣。這m n 個數稱為矩陣a的元素，簡稱為元，數aij位於矩陣a的第i行第j列...
半正定矩陣，如果是對稱且可逆的，那麼它一定是正定矩陣嗎？我感覺是，能給個證明嗎
半正定矩陣是沒有負的特徵值 只需要再知道可逆 就沒有0為特徵值 那就是正定了啊 設證明a是正定矩陣，c是可逆矩陣，證明 c的轉置乘以 a乘以c是正定矩陣 10 由a正定,a t a 所以 c tac t c ta t c t t c tac 所以 c tac 是對稱矩陣.對任意n維非零 向量x由於內...