1樓：水聞楣
九連環專題彙總
九連環的歷史
九連環的解法
九連環與格雷碼
電腦九連環遊戲
秦宗慈解九連環的記法：1在上，0在下，*上或下；按照玩九連環的習慣，左邊（釵頭方向）到右邊依次是第一至第九環。
本示意圖源自許蓴舫《趣味的數和圖》，轉取自樑子傑（香港）的網頁
稍微試驗一下，就可得出以下基本規律：
基本規律1 第1號環隨時可自由上下，即0********與1********可隨時轉換。
基本規律2 其他環當且僅當它前面僅有與它相鄰的一個環在上面，例如，
10*******與11*******可隨時轉換
10*******與11*******可隨時轉換
000010***與000011***可隨時轉換
等等。解法與步數分析：先討論按照上面基本規律1，2解九連環，解法稱完整解法，步數稱完整步數。
假設初始時狀態是000000000.
1，由初始狀態到上最左邊一個環，即由000000000到1000000000
按照基本規律1，僅需1步。
2，由初始狀態到上最左邊兩個環，即由000000000到1100000000
過程：000000000————初始
100000000————基本規律1
110000000————基本規律2
共需2步。
3，由初始狀態到上最左邊三個環，即由000000000到111000000
過程：000000000————初始
100000000————基本規律1
110000000————基本規律2
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
共需5步。
4，由初始狀態到上最左邊四個環，即由000000000到111100000
過程：000000000————初始
100000000————基本規律1
110000000————基本規律2
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
101000000————基本規律2
001000000————基本規律1
001100000————基本規律2
101100000————基本規律1
111100000————基本規律2
共需10步。
4，由初始狀態到上最左邊五個環，即由000000000到111110000
過程：000000000————初始
100000000————基本規律1
110000000————基本規律2
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
101000000————基本規律2
001000000————基本規律1
001100000————基本規律2
101100000————基本規律1
111100000————基本規律2
011100000————基本規律1
010100000————基本規律2
110100000————基本規律1
100100000————基本規律2
000100000————基本規律1
000110000————基本規律2
100110000————基本規律1
110110000————基本規律2
010110000————基本規律1
011110000————基本規律2
111110000————基本規律1
共需21步。
注意其中每7步一段，中間間隔1步。
許蓴舫的口訣
一二一三一二一，釵前連二下第二，釵前單一上後環
簡單解法
一二同上或同下，算一步，作為基本規律3.
基本規律3 第1，2號環可同時上下，即00*******與11*******可隨時轉換。
能利用基本規律3，就利用，再結合基本規律1，2，這種解法步數會少一些，稱簡單解法，步數稱簡單步數。這時的解法成為
1，由初始狀態到上最左邊一個環，即由000000000到1000000000
過程：000000000————初始
100000000————基本規律1
共需1步。
2，由初始狀態到上最左邊兩個環，即由000000000到1100000000
過程：000000000————初始
110000000————基本規律3
共需1步。
3，由初始狀態到上最左邊三個環，即由000000000到111000000
過程：000000000————初始
110000000————基本規律3
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
共需4步。
4，由初始狀態到上最左邊四個環，即由000000000到111100000
過程：000000000————初始
110000000————基本規律3
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
001000000————基本規律3
001100000————基本規律2
111100000————基本規律3
共需7步。
5，由初始狀態到上最左邊五個環，即由000000000到111110000
過程：000000000————初始
110000000————基本規律3
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
001000000————基本規律3
001100000————基本規律2
111100000————基本規律3
011100000————基本規律1
010100000————基本規律2
110100000————基本規律1
000100000————基本規律3
000110000————基本規律2
110110000————基本規律3
010110000————基本規律1
011110000————基本規律2
111110000————基本規律1
共需16步。
6，由初始狀態到上最左邊六個環，即由000000000到111111000
過程：000000000————初始
110000000————基本規律3
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
001000000————基本規律3
001100000————基本規律2
111100000————基本規律3
011100000————基本規律1
010100000————基本規律2
110100000————基本規律1
000100000————基本規律3
000110000————基本規律2
110110000————基本規律3
010110000————基本規律1
011110000————基本規律2
111110000————基本規律1
001110000————基本規律3
001010000————基本規律2
111010000————基本規律3
011010000————基本規律1
010010000————基本規律2
110010000————基本規律1
000010000————基本規律3
000011000————基本規律2
110011000————基本規律3
010011000————基本規律1
011011000————基本規律2
111011000————基本規律1
001011000————基本規律3
001111000————基本規律2
111111000————基本規律3
共需31步。
7，由初始狀態到上最左邊七個環，即由000000000到111111100
過程：000000000————初始
110000000————基本規律3
010000000————基本規律1
011000000————基本規律2
111000000————基本規律1
001000000————基本規律3
001100000————基本規律2
111100000————基本規律3
011100000————基本規律1
010100000————基本規律2
110100000————基本規律1
000100000————基本規律3
000110000————基本規律2
110110000————基本規律3
010110000————基本規律1
011110000————基本規律2
111110000————基本規律1
001110000————基本規律3
001010000————基本規律2
111010000————基本規律3
011010000————基本規律1
010010000————基本規律2
110010000————基本規律1
000010000————基本規律3
000011000————基本規律2
110011000————基本規律3
010011000————基本規律1
011011000————基本規律2
111011000————基本規律1
001011000————基本規律3
001111000————基本規律2
111111000————基本規律3
011111000————基本規律1
010111000————基本規律2
110111000————基本規律1
000111000————基本規律3
000101000————基本規律2
110101000————基本規律3
010101000————基本規律1
011101000————基本規律2
111101000————基本規律1
001101000————基本規律3
001001000————基本規律2
111001000————基本規律3
011001000————基本規律1
010001000————基本規律2
110001000————基本規律1
000001000————基本規律3
000001100————基本規律2
110001100————基本規律3
010001100————基本規律1
011001100————基本規律2
111001100————基本規律1
001001100————基本規律3
001101100————基本規律2
111101100————基本規律3
011101100————基本規律1
010101100————基本規律2
110101100————基本規律1
000101100————基本規律3
000111100————基本規律2
110111100————基本規律3
010111100————基本規律1
011111100————基本規律2
111111100————基本規律1
共需64步。
由初始狀態到上最左邊n個環所需步數n
按照簡單記法，n為奇數時，n=2^（n-1）； n為偶數時，n=2^（n-1）-1
按照全部記法，n為奇數時，n=（2^（n+1）-1）/3； n為偶數時，n=（2^（n+1）-2）/3
9環全部上去，所需步數按照完整解法是341步，按照簡單解法是256步。
進一步考慮，到某一個狀態，如果知道完整步數是n，如何求相應的簡單步數呢？
可以看出，由初始開始，每經過完整步數8步，簡單步數可省略2步成為6步。餘數達到2時再省略1步；達到7時再省略1步。因此簡單步數n0是
其中運算 [x]表示實數x的整數部分，r是n除以8的餘數。
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