1樓:匿名使用者
^^3x^內4+6x^容3-12x^2-15x-18=3(x^4+2x3-4x2-5x-6)
=3(x^4+2x3-3x2-x2-5x-6)=3[x2(x^2+2x-3)-(x2+5x+6)]=3[x2(x+3)(x-1)-(x+3)(x+2)]=3(x+3)(x3-x2-x-2)
2樓:匿名使用者
3x^4+6x^3-12x^2-15x-18=3(x^4+2x3-4x2-5x-6)
=3(x^4+2x3-3x2-x2-5x-6)=3[x2(x+3)(x-1)-(x+3)(x+2)]=3(x+3)(x3-x2-x-2)
用試根法因式分解4x^3+8x^2-15x-9
3樓:飛雪的情誼
^^(1) 4x^3+8x^2-15x-9= 4x^3+2x^2+6x^2-15x-9= 2x^2(2x+1)+3(2x^2-5x-3)= 2x^2(2x+1)+3(x-3)(2x+1)= (2x^2+3x-9)(2x+1)
= (2x-3)(x+3)(2x+1)
(2) 仍然還在思考中 和第一個題目的解法差不多 加上一個x^2減去一個x^2給後面十字相乘 然後前面在因式分解
我算了半天沒找到合適的數
4樓:匿名使用者
[編輯本段]因式分解的方法
因式分解沒有普遍的方法,初中數學教材中主要介紹了提公因式法、公式法。而在競賽上,又有拆項和添項法,分組分解法和十字相乘法,待定係數法,雙十字相乘法,輪換對稱法,剩餘定理法等。
[編輯本段]基本方法
(1)提公因式法
各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
如果一個多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法。
具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的;取相同的多項式,多項式的次數取最低的。
如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括號內的第一項的係數成為正數。提出「-」號時,多項式的各項都要變號。
例如:-am+bm+cm=-m(a-b-c);
a(x-y)+b(y-x)=a(x-y)-b(x-y)=(x-y)(a-b)。
注意:把2a^2+1/2變成2(a^2+1/4)不叫提公因式
(2)公式法
如果把乘法公式反過來,就可以把某些多項式分解因式,這種方法叫公式法。
平方差公式:a^2-b^2=(a+b)(a-b);
完全平方公式:a^2±2ab+b^2=(a±b)^2;
注意:能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍。
立方和公式:a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2);
立方差公式:a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2);
完全立方公式:a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3.
其餘公式請參看上邊的**。
例如:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)^2(參看右圖).
[編輯本段]競賽用到的方法
(3)分組分解法
分組分解是解方程的一種簡潔的方法,我們來學習這個知識。
能分組分解的方程有四項或大於四項,一般的分組分解有兩種形式:二二分法,三一分法。
比如:ax+ay+bx+by
=a(x+y)+b(x+y)
=(a+b)(x+y)
我們把ax和ay分一組,bx和by分一組,利用乘法分配律,兩兩相配,立即解除了困難。
同樣,這道題也可以這樣做。
ax+ay+bx+by
=x(a+b)+y(a+b)
=(a+b)(x+y)
幾道例題:
1. 5ax+5bx+3ay+3by
解法:=5x(a+b)+3y(a+b)
=(5x+3y)(a+b)
說明:係數不一樣一樣可以做分組分解,和上面一樣,把5ax和5bx看成整體,把3ay和3by看成一個整體,利用乘法分配律輕鬆解出。
2. x3-x2+x-1
解法:=(x3-x2)+(x-1)
=x2(x-1)+(x-1)
=(x-1)(x2+1)
利用二二分法,提公因式法提出x2,然後相合輕鬆解決。
3. x2-x-y2-y
解法:=(x2-y2)-(x+y)
=(x+y)(x-y)-(x+y)
=(x+y)(x-y-1)
利用二二分法,再利用公式法a2-b2=(a+b)(a-b),然後相合解決。
(4)十字相乘法
這種方法有兩種情況。
1x^2+(p+q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和。因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:
x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) .
2kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果如果有k=ac,n=bd,且有ad+bc=m時,那麼kx^2+mx+n=(ax+b)(cx+d).
圖示如下:
a b×c d
例如:因為
1 -3
×7 2
-3×7=-21,1×2=2,且2-21=-19,
所以7x^2-19x-6=(7x+2)(x-3).
十字相乘法口訣:首尾分解,交叉相乘,求和湊中
(5)拆項、添項法
這種方法指把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解。要注意,必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b).
(6)配方法
對於某些不能利用公式法的多項式,可以將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解,這種方法叫配方法。屬於拆項、補項法的一種特殊情況。也要注意必須在與原多項式相等的原則下進行變形。
例如:x^2+3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5).
(7)應用因式定理
對於多項式f(x)=0,如果f(a)=0,那麼f(x)必含有因式x-a.
例如:f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定x+2是x^2+5x+6的一個因式。(事實上,x^2+5x+6=(x+2)(x+3).)
(8)換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來,這種方法叫做換元法。
注意:換元后勿忘還元.
例如在分解(x^2+x+1)(x^2+x+2)-12時,可以令y=x^2+x,則
原式=(y+1)(y+2)-12
=y^2+3y+2-12=y^2+3y-10
=(y+5)(y-2)
=(x^2+x+5)(x^2+x-2)
=(x^2+x+5)(x+2)(x-1).
也可以參看右圖。
(9)求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1,x2,x3,......xn,則該多項式可分解為f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)......(x-xn) .
例如在分解2x^4+7x^3-2x^2-13x+6時,令2x^4 +7x^3-2x^2-13x+6=0,
則通過綜合除法可知,該方程的根為0.5 ,-3,-2,1.
所以2x^4+7x^3-2x^2-13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1).
(10)圖象法
令y=f(x),做出函式y=f(x)的圖象,找到函式影象與x軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,......xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1)(x-x2)(x-x3)......(x-xn).
與方法(9)相比,能避開解方程的繁瑣,但是不夠準確。
例如在分解x^3 +2x^2 -5x-6時,可以令y=x^3 +2x^2 -5x-6.
作出其影象,與x軸交點為-3,-1,2
則x^3 +2x^2-5x-6=(x+1)(x+3)(x-2).
(11)主元法
先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。
(12)特殊值法
將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。
例如在分解x^3+9x^2+23x+15時,令x=2,則
x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105,
將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7 .
注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值,
則x^3+9x^2+23x+15可能等於(x+1)(x+3)(x+5),驗證後的確如此。
(13)待定係數法
首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。
例如在分解x^4-x^3-5x^2-6x-4時,由分析可知:這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
於是設x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+ax+b)(x^2+cx+d)
=x^4+(a+c)x^3+(ac+b+d)x^2+(ad+bc)x+bd
由此可得a+c=-1,
ac+b+d=-5,
ad+bc=-6,
bd=-4.
解得a=1,b=1,c=-2,d=-4.
則x^4-x^3-5x^2-6x-4=(x^2+x+1)(x^2-2x-4).
也可以參看右圖。
(14)雙十字相乘法
雙十字相乘法屬於因式分解的一類,類似於十字相乘法。用一道例題來說明如何使用。
例:分解因式:x^2+5xy+6y^2+8x+18y+12.
分析:這是一個二次六項式,可考慮使用雙十字相乘法進行因式分解。
解:x 2y 2
1 2 3
x 3y 6
∴原式=(x+2y+2)(x+3y+6).
雙十字相乘法其步驟為:
1先用十字相乘法分解2次項,如十字相乘圖1中x^2+5xy+6y^2=(x+2y)(x+3y);
2先依一個字母(如y)的一次係數分數常數項。如十字相乘圖2中6y^2+18y+12=(2y+2)(3y+6);
3再按另一個字母(如x)的一次係數進行檢驗,如十字相乘圖3,這一步不能省,否則容易出錯。
[編輯本段]多項式因式分解的一般步驟:
1如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;
2如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
3如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;
4分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
也可以用一句話來概括:「先看有無公因式,再看能否套公式。十字相乘試一試,分組分解要合適。」
幾道例題
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2.
解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1-y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(補項)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)(完全平方)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x][(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y).
2.求證:對於任何實數x,y,下式的值都不會為33:
x^5+3x^4y-5x^3y^2-15x^2y^3+4xy^4+12y^5.
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y).
(分解因式的過程也可以參看右圖。)
當y=0時,原式=x^5不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立。
3..△abc的三邊a、b、c有如下關係式:-c^2+a^2+2ab-2bc=0,求證:這個三角形是等腰三角形。
分析:此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明:∵-c^2+a^2+2ab-2bc=0,
∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0.
∴(a-c)(a+2b+c)=0.
∵a、b、c是△abc的三條邊,
∴a+2b+c>0.
∴a-c=0,
即a=c,△abc為等腰三角形。
4.把-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)分解因式。
解:-12x^2n×y^n+18x^(n+2)y^(n+1)-6x^n×y^(n-1)
=-6x^n×y^(n-1)(2x^n×y-3x^2y^2+1).
[編輯本段]因式分解四個注意:
因式分解中的四個注意,可用四句話概括如下:首項有負常提負,各項有「公」先提「公」,某項提出莫漏1,括號裡面分到「底」。 現舉下例 可供參考
例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
這裡的「負」,指「負號」。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括號內第一項係數是正的。防止學生出現諸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯誤
例2把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)
這裡的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式;這裡的「1」,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括號內切勿漏掉1。
分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底,不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「乾淨」,不留「尾巴」,並使每一個括號內的多項式都不能再分解。
防止學生出現諸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的錯誤。
考試時應注意:
在沒有說明化到實數時,一般只化到有理數就夠了
由此看來,因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中,與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話:「先看有無公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適」是一脈相承的。
方程（x 3X 3） X 3X 1 X 2X 1 X 4 的解為
方程 x 3 x 3 x 3 x 1 x 2 x 1 x 4 去括號得 x 6x 9 x 9 x 3x 2 x 3x 4 即 6x 18 6 6x 12 解得 x 2 方程0.3分之2x 2又3分之2 0.2分之 1.4 3x 可化為 0.3分之2x 3分之8 0.2分之 1.4 3x 上式兩邊同乘...
請問「 x 2x 1x 3x 2x 4x 3x 5x 4 」怎樣做，速度，急用
解 x 2 x 1 1 1 x 1 x 3 x 2 1 1 x 2 利用這個思 路同樣可以有 專 x 4 x 3 1 1 x 3 x 5 x 4 1 1 x 4 原式 x 2 屬 x 1 x 3 x 2 x 4 x 3 x 5 x 4 1 1 x 1 1 1 x 2 1 1 x 3 1 1 x 4 ...
解下列方程（1）2 4x 1 2 3 2 x（2）1 5（x 2 3
1 2 3 3 2 1 4x 1 2 3 2 x2 3 3 2 1 4x 1 2 3 x 21 4x 1 2 2 x 2 1 4x 1 2 x 3 4x 1 2 x 2 3 2 1 9 1 7 1 5 x 2 3 4 6 8 11 7 1 5 x 2 3 4 6 8 91 7 1 5 x 2 3 4...