1樓：匿名使用者
是的。而且可以推廣到一般：
a1ⁿ+a2ⁿ+...+anⁿ≥na1·a2·...·an
都是均值不等式的基礎知識。
2樓：金色天際線
^^^^當a，b，c都是正數時成立
a^3+b^3+c^3-3abc
=（a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c(c^2-3ab+a^2-ab+b^2-a^2+ab-b^2)
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[(c^2-a^2-2ab-b^2)+(a^2-ab+b^2)]
=(a+b)(a^2-ab+b^2)+c[c^2-(a+b)^2]+c(a^2-ab+b^2)
=(a+b+c)(a^2-ab+b^2)+c(a+b+c)(c-a-b)
=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac)
∵a,b,c>0
∴a+b+c>0 a^2+b^2+c^2-ab-bc-ac
=(2a^2+2b^2+2c^2-2ab-2bc-2ac)/2
=[(a-b)^2+(a-c)^2+(b-c)^2] /2≥0
即當a，b，c都是正數時
a^3+b^3+c^3≥3abc
基本不等式是怎麼證明的？
3樓：匿名使用者
設x、y為任意實數，則 (x-y)的平方大於等於0，即 x的平方-2xy+y的平方大於等於0，於是得 x的平方+y的平方大於等於2xy；設a等於x的平方、b等於y的平方，則 2xy等於2根號(ab)，所以得到 a+b大於等於2根號(ab)，其中a、b為正實數.本來a、b等於0時，不等式也是成立的，但考慮實用性，故只取正數.
4樓：匿名使用者
不等式的證明
1.比較法
作差作商後的式子變形,判斷正負或與1比較大小
作差比較法-----要證明a>b,只要證明a-b>0.
作商比較法---已知a,b都是正數,要證明a>b,只要證明a/b>1
例1 求證:x2+3>3x
證明:∵(x2+3)-3x=x2-3x+()2-()2+3
=+≥>0
∴ x2+3>3x
例2 已知a,b r+,並且a≠b,求證
a5+b5>a3b2+a2b3
證明:(a5+b5)-(a3b2+a2b3)=(a5-a3b2)-(a2b3-b5)
=a3(a2-b2)-b3(a2-b2)=(a2-b2)(a3-b3)
=(a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)
∵ a,b r+
∴ a+b>0, a2+ab+b2>0
又因為a≠b,所以(a-b)2>0
∴ (a+b)(a-b)2(a2+ab+b2)>0
即 (a5+b5)-(a3b2+a2b3)>0
∴ a5+b5>a3b2+a2b3
例3 已知a,b r+,求證:aabb≥abba
證明: =
∵a,b r+,當a>b時,>1,a-b>0,>1;
當a≤b時,≤1,a-b≤0, ≥1.
∴ ≥1, 即aabb≥abba
綜合法瞭解算術平均數和幾何平均數的概念,能用平均不等式證明其它一些不等式
定理1 如果a,b r,那麼a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取"="號)
證明:a2+b2-2ab=(a-b)2≥0
當且僅當a=b時取等號.所以
a2+b2≥2ab(當且僅當a=b時取等號).
定理2 如果a,b,c r+,那麼a3+b3+c3≥3abc(當且僅當a=b=c時取"="號)
證明:∵a3+b3+c3-3abc
=(a+b)3+c3-3a2b-3ab2-3abc
=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ac)
=(a+b+c)[(a-b)2+(b-c)2+(a-c)2]≥0
∴ a3+b3+c3≥3abc,
很明顯,當且僅當a=b=c時取等號.
例1 已知a,b,c是不全等的正數,求證
a(a2+b2)+b(a2+c2)+c(a2+b2)>6abc.
放縮法這也是分析法的一種特殊情況,它的根據是不等式的傳遞性—
a≤b,b≤c,則a≤c,只要證明"大於或等於a的"b≤c就行了.
例,證明當k是大於1的整數時,,
我們可以用放縮法的一支——"逐步放**",證明如下:
分析法從要證明的不等式出發,尋找使這個不等式成立的某一"充分的"條件,為此逐步往前追溯(執果索因),一直追溯到已知條件或一些真命題為止.例如要證a2+b2≥2ab我們通過分析知道,使a2+b2≥2ab成立的某一"充分的"條件是a2-2ab+b2≥0,即(a-b)2≥0就行了.由於是真命題,所以a2+b2≥2ab成立.
分析法的證明過程表現為一連串的"要證……,只要證……",最後推至已知條件或真命題
例 求證:
證明:構造圖形證明不等式
例:已知a,b,c都是正數,求證:
+>分析與證明:觀察原不等式中含有a2+ab+b2即a2+b2+ab的形式,聯想到餘弦定理:c2=a2+b2-2ab cosc,為了得到a2+b2+ab的形式,只要c=120°,
這樣:可以看成a,b為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成b,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
可以看成a,c為鄰邊,夾角為120°的的三角形的第三邊
構造圖形如下,
ab=,
bc=,
ac=顯然ab+bc>ac,故原不等式成立.
數形結合法
數形結合是指通過數與形之間的對應轉化來解決問題.數量關係如果藉助於圖形性質,可以使許多抽象概念和關係直觀而形象,有利於解題途徑的探求,這通常為以形助數;而有些涉及圖形的問題如能轉化為數量關係的研究,又可獲得簡捷而一般化的解法,即所謂的以數解形.數形結合的思想,其實質是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來,使抽象思維和形象思維結合,通過對圖形的認識,數形的轉化,可以培養思維的靈活性,形象性.
通過數形結合,可以使複雜問題簡單化,抽象問題具體化.
例.證明,當x>5時,≤x-2
解:令y1=, y2=x-2, 從而原不等式的解集就是使函式y1>y2的x的取值範圍.在同一座標系中分別作出兩個函式的圖象.
設它們交點的橫座標是x0, 則=x0-2>0.解之,得x0=5或x0=1(舍).根據圖形,很顯然成立.
反證法先假定要證不等式的反面成立,然後推出與已知條件(或已知真命題)和矛盾的結論,從而斷定反證假定錯誤,因而要證不等式成立.
窮舉法對要證不等式按已知條件分成各種情況,加以證明(防止重複或遺漏某一可能情況).
注意:在證明不等式時,應靈活運用上述方法,並可通過運用多種方法來提高自己的思維能力.
基本不等式中的一正二定三相等,基本不等式的一正二定三相等的定和相等要怎麼理解啊能不能舉個反面例子
一正是指兩來個數a b都要為正實數源 二定是指,在 baia b為定值時,便可以知道 duab的最大值 在zhiab為定值時,便可以知道a b的最小dao值,三相等是指,不等式成立的條件是a b。比如,當a b 9時,ab的最大值為a b 2 ab,即是ab 81 9,最大值為81 9。當且僅當a ...
絕對值不等式的題。求證abab2b詳
2 b a b a b 用 x y x y 其中x a b,y a b,x y 2b 可以得到 a b a b 2 b a b zhia b 1 daoa 回 b a b a 答 b a b 0 2 1 2 a b a b a b a b a b a b 2 b 因為 a b a b a b a b...
如何理解基本不等式中的一正二定三相等中的定
基本不等式是指a 2 b 2 2ab，並不要求一正二定三相等。由基本不等式可推匯出一回個新的不等式根號a平方 也就是答a 根號b平方 也就是b 2根號 ab 將兩邊同除以2得到 a b 2 根號ab，這個不等式叫做均值不等式，左邊是兩個正數的算術平均數，右邊是兩個正數的幾何平均數。利用均值不等式求最...