1樓：康伯偉
一樓的說法不對！
一重積分，可以計算長度，可以計算面積，也可以計算體積(最典型的是旋轉體的體積)；
二重積分，可以計算面積，也可以計算體積。
三重積分，可以計算體積。
具體如何，一看被積函式，二看積分限怎麼確定。
方法是活的，關鍵在於如何運用。
2樓：需字
§9.3 二重積分的應用
定積分應用的元素法也可推廣到二重積分,使用該方法需滿足以下條件：
1、所要計算的某個量 對於閉區域 具有可加性(即:當閉區域 分成許多小閉區域 時, 所求量 相應地分成許多部分量 ,且 )。
2、在 內任取一個直徑充分小的小閉區域 時, 相應的部分量 可近似地表示為 , 其中 , 稱 為所求量 的元素, 並記作 。
(注: 的選擇標準為: 是 直徑趨於零時較 更高階的無窮小量)
3、所求量 可表示成積分形式
一、曲面的面積
設曲面 由方程 給出, 為曲面 在 面上的投影區域,函式 在 上具有連續偏導數 和 ,現計算曲面的面積 。
在閉區域 上任取一直徑很小的閉區域 (它的面積也記作 ),在 內取一點 ,對應著曲面 上一點 ,曲面 在點 處的切平面設為 。 以小區域 的邊界為準線作母線平行於 軸的柱面, 該柱面在曲面 上截下一小片曲面,在切平面 上截下一小片平面,由於 的直徑很小,那一小片平面面積近似地等於那一小片曲面面積。
曲面 在點 處的法線向量( 指向朝上的那個 )為
它與 軸正向所成夾角 的方向餘弦為
而所以這就是曲面 的面積元素, 故
故【例1】求球面 含在柱面 ( ) 內部的面積。
解:所求曲面在 面的投影區域
曲面方程應取為 , 則
,曲面在 面上的投影區域 為
據曲面的對稱性,有
若曲面的方程為 或 ,可分別將曲面投影到 面或 面,設所得到的投影區域分別為 或 ,類似地有
或二、平面薄片的重心
1、平面上的質點系的重心
其質點系的重心座標為
,2、平面薄片的重心
設有一平面薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 ,假定 在 上連續,如何確定該薄片的重心座標 。
這就是力矩元素,於是
又平面薄片的總質量
從而,薄片的重心座標為
特別地,如果薄片是均勻的,即面密度為常量,則
十分顯然, 這時薄片的重心完全由閉區域的形狀所決定, 因此, 習慣上將均勻薄片的重心稱之為該平面薄片所佔平面圖形的形心。
【例2】設薄片所佔的閉區域 為介於兩個圓 ,
( )之間的閉區域,且面密度均勻,求此均勻薄片的重心(形心)。
解: 由 的對稱性可知:
而 故
三、平面薄片的轉動慣量
1、平面質點系對座標軸的轉動慣量
設平面上有 個質點, 它們分別位於點 處, 質量分別為 。
設質點系對於 軸以及對於 軸的轉動慣量依次為
2、平面薄片對於座標軸的轉動慣量
設有一薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 , 假定 在 上連續。 現要求該薄片對於 軸、 軸的轉動慣量 , 。
與平面薄片對座標軸的力矩相類似,轉動慣量元素為
【例3】求由拋物線 及直線 所圍成的均勻薄片(面密度為常數 )對於直線 的轉動慣量。
解: 轉動慣量元素為
四、平面薄片對質點的引力
設有一平面薄片,佔有 面上的閉區域 ,在點 處的面密度為 ,假定 在 上連續,現計算該薄片對位於 軸上點 處的單位質量質點的引力。
於是,薄片對質點的引力 在三個座標軸上的分力 的力元素為故
3樓：匿名使用者
二重積分也可以計算體積的
4樓：匿名使用者
一樓《angel說愛我》應該是初學者，還沒有搞懂積分是怎麼回事。
二樓《nbsuns》的說法，可以接受。
三樓《康伯偉》說的太棒了！
鑑定完畢！
5樓：angel說愛我
二重積分就是計算面積的 不是計算體積的
三重積分是計算體積的
二重積分不是求體積的嗎為什麼可以求面積 30
6樓：爽朗的吳登澤
二重積分物理意義是平面薄片的質量，幾何意義是曲頂柱體的體積
二重積分不是算體積的嗎？為什麼可以算面積？面積不是一次積分就能算出來嗎？為什麼要二重積分？
7樓：匿名使用者
被積函式為1時，二重積分就是面積了。實際上是數值上等於面積，相當於曲頂柱體的頂是一個z=1的平面
8樓：匿名使用者
可以算體積 也可算面積
平面上的面積用積分就行
三維空間裡的面積需要二重積分
就如同一張紙 撲在桌子上 要普通積分
但是在空間中造成扭曲（比如揉成團）就要二重積分ps：二重積分表示兩個未知數 有的體積只用普通積分也可算詳情你去買本數學分析看看吧 這裡說不清
二重積分怎麼還能求表面積啊？不是求體積的嗎？
9樓：上海皮皮龜
當被積表示式是面積元時，二重積分就表示面積。這就像定積分可以表示曲邊梯形的面積，但如果被積表示式是弧長的微分時，定積分就表示曲線弧長。
10樓：快樂老亞索
學長你現在懂了沒，到底是啥啊，我現在也很懵。
11樓：匿名使用者
選取不同的被積函式，可以求各種東西。
12樓：仔福
理解角度問題，看圖，
二重積分計算出來的是體積還是面積
13樓：木沉
一般說來，二重積分計算的是面積。
但也可以用來計算體積。
另外，有些積分你怎麼說他是面積還是體積呢？
就像一個數1，可以是1釐米，這是長度。可以是1乘以1，成了面積。也可以是1乘1乘1，這就成體積了。要靈活會變通啊！
二重積分和定積分割槽別是什麼？定積分能算體積和麵積，二重積分能算體積，還有什麼區別？
14樓：佔雅霜篤意
定積分只有一個積分變數,被積函式一般是一次的,積分割槽域只是一個區間,也就是數軸上的一段；而二重積分可以有兩個積分變數,被積函式一般為二次,積分割槽域是平面上的一個有界閉區域.從幾何意義上講：定積分求出的是一個面積,而二重積分求出的是一個體積,而且是一個以f（x）為頂的、以它投影為底面的弧頂柱體的體積.
在題目明顯要求的情況下,肯定知道什麼時候用.如果是在實際應用中,就看上面的幾點,來區分使用那種積分（尤其是關於求面積還是求體積的問題）,到後面還會學到三重積分,那時就會對這三種積分有更深刻的認識了……
15樓：說淑慧越慕
定積分寫出的旋轉體體積公式（a）：是理**式
用二重積分算的旋轉體體積公式（b）：是計算公式
由a公式要轉化為b公式才能實現計算結果。轉化有技巧，要根據積分限、形態進行轉換。
為什麼二重積分可以算面積
16樓：祕金生閭春
為什麼二重積分算面積是因為：二重積分的幾何意義是當z值為正時的曲頂柱體的體積，微元相當於投影面積。
設二元函式z=f(x,y)定義在有界閉區域d上,將區域d任意分成n個子域δδi(i=1,2,3,…,n)，並以δδi表示第i個子域的面積.在δδi上任取一點(ξi,ηi),作和limn→∞
(n/i=1
σ(ξi,ηi)δδi).如果當各個子域的直徑中的最大值λ趨於零時,此和式的極限存在,則稱此極限為函式f(x,y)在區域d上的二重積分,記為∫∫f(x,y)dδ,即
∫∫f(x,y)dδ=limλ
→0（σf(ξi,ηi)δδi）
這時,稱f(x,y)在d上可積,其中f(x,y)稱被積函式,f(x,y)dδ稱為被積表示式,dδ稱為面積元素,
d稱為積分域,∫∫稱為二重積分號.
同時二重積分有著廣泛的應用，可以用來計算曲面的面積，平面薄片重心，平面薄片轉動慣量，平面薄片對質點的引力等等。此外二重積分在實際生活，比如無線電中也被廣泛應用。
性質1：（積分可加性） 函式和（差）的二重積分等於各函式二重積分的和（差），即：∫∫
17樓：獨吟獨賞獨步
因為二重積分定義的幾何意義就是z值為正時曲頂柱體的體積，微元相當於 投影面積，被積函式相當於高。那麼如果裡面的被積函式值為1，就說明這個柱體的高被視為很小的定值，它相當於一個平面薄板，這個時候二重積分算的就是這個平面薄板的面積，也相當於它的體積。
18樓：張旺山
高很小值不代表就可以取1，這裡的1是為了避開高的存在，就像可以用三重積分求體積一樣，本來三重積分是用來求質量的，但是被積函式為1的時候其實避開了密度，體積乘以密度1獲得的質量的數值和體積是一樣的。放在二重積分之下，就是讓積域乘以高度1，獲得與積域面積數值相同的體積，儘管單位不一樣，可是數值上和積域面積相同。
二重積分求面積、求體積問題
19樓：匿名使用者
簡單的說，∫∫dxdy,一定是求面積。∫∫f(x,y)dxdy,就是求體積——你可以把它看做一重積分
後再次積分，你知道一重積分是求面積吧，那麼二重就是體積，特例是當函式為1時，表示物體高為0，僅僅由長寬表示在xy軸上
20樓：我行我素
積分是一種數學工具，可以求面積、體積、長度等等，只要可化為函式微元求和的問題都可用積分法解決，具體問題具體分析，沒有一定限制，一般情況下，單重積分可求長度、面積、體積，二重積分可求體積、質量、重量，三重積分可求體積、質量、重量，
計算二重積分yxdDx,y
分割積分割槽域,去絕對值,具體如下 計算二重積分的常見的方法包括 1 利用 版直角座標計算 關鍵權在於根據被積函式和積分割槽域的特點選擇積分次序並確定積分限 2 利用極座標計算 關鍵仍是積分限的確定 3 利用對稱性 或輪換對稱性 化簡積分 4 利用對積分割槽域的可加性 分塊 計算 5 利用幾何意義,...
二重積分，積分割槽域為0，可以計算嗎
1 只要積分割槽域中 來每一點都滿足某個自表示式，這bai 個表示式就可以先du代入被積函式。zhi由於曲面上每一點都滿dao足曲面表示式，所以曲面積分可以將曲面表示式代入被積函式。曲線積分同理可行。二重積分 三重積分卻不行，因為只有積分邊界上才滿足某個表示式，內部區域並不滿足等式。2 這個積分是在...
二重積分計算（極座標形式），極座標下的二重積分計算？？？？？
畫出d的圖形，可以看出，d是由x軸，直線y 3 x，圓y 3 x 圍成的平面區域。版y 3 x的極座標權方程為 3 y 3 x 的極座標方程為 r 3根據直角座標與極座標之間的轉換公式，原式 0 3 d 0 3 rsin rdr 3 0 3 sin d 3 cos 0 3 3 2 極坐bai標下的二...