1樓：匿名使用者
你好！1) 設f(x)=x^5+5x^4-5f'(x)=5x^4+20x^3
x>0時，f'(x)>0恆成立，所以f(x)在x>0時至多有一個零點又因為f(x)連續，f(0)=-5<0
而f(1)=1>0
f(0)*f(1)<0，所以函式f(x)在(0,1)內至少有一個零點綜合上f(x)在x>0內有且僅有一個零點，所以x^5+5x^4-5有且僅有一個正實根
2）令g(x）=f(x)+x
由於f(x)連續，顯然g(x)也連續
g(0)=f(0)+0=0
g(1)=f(1)+1=2
由於函式g(x)是連續的，
所以對於x在區間(0,1)內取值時
g(x)可以取到(0,2)內的任意數
顯然1在區間（0,2），內，也可以取到
所以存在一個數屬於e屬於（0,1）,使得g(e)=1也就是存在一個數e，使得g(e)=1-e
得證。如有不懂請追問
滿意請採納
有其他問題，請採納本題後點追問
答題不易，望合作o(∩_∩)o~
祝學習進步
2樓：匿名使用者
f(0)<0,f(1)>0 連續函式中值定理知道必有一個實根
f（x）導數求出來，令導數得0 發現4個根中3個是0，且當x>0時，導數大於0 故知道正實根只有一個
3 考慮f(x)+x-1 =g(x), 顯然連續，g(0)=-1 g(1)=1 必存在一點t 滿足f(t)+t-1=0 倒一下就是3題要求的形式
3樓：匿名使用者
2. 左邊設為f(x),f(0)=-5<0,f(1)=1>0 故在(0.1)至少一根，又當x>0 ,f'(x)=5x^4+20x^3>0 f(x)單增，故f(x)有唯一正根
3，f(x)=f(x)+x-1 f(0)=f(0)-1=-1 f(1)=f(1)=1>0,故在(0,1)至少存在ξ使f(ξ)=0
即：f(ξ)=1-ξ
證明方程有且僅有一個實根
4樓：匿名使用者
設函式f(x)=ln(1+x²)-x-1
x取任意實數，函式表示式恆有意義，函式定義域為rf'(x)=[ln(1+x²)-x-1]'
=2x/(1+x²) -1
=(2x-1-x²)/(1+x²)
=-(x²-2x+1)/(1+x²)
=-(x-1)²/(1+x²)
1+x²恆》0，(x-1)²恆≥0，又-1<0f'(x)≤0，函式在r上單調遞減，至多有一個零點。
f(1)=ln1-1-1=0-2=-2<0f(e)=ln(1+e²)-e-1>lne²-e-1=2e-e-1=e-1>0
函式在(1，e)上有零點，則此零點為f(x)的唯一零點。
方程ln(1+x²)=x+1有且僅有一個實根。
5樓：八月冰霜一場夢
解析根據題意我們可以將方程的根轉化為函式的交點個數來解，在利用數形結合的方法我們就能證明方程有且只有一個實根。
證明方程x的三次方＋x一1＝0有且只有一個正實根。
6樓：吟得一輩子好詩
令f(x)=x^3，g(x)=1-x，x∈r易證得baif(x)是奇du
函式，且在定zhi義域上dao單調遞專增
易證得g(x)在定義域上單調遞減
f(0)=0, g(0)=1, f(0)g(1)所以 f(x)和個g(x)的影象在[0, 1]區間必有屬至少一個交點
設某一交點橫座標為xo，0g(xo)，沒有交點當 x>xo 時，f(x)>f(xo), g(x) 所以函式 f(x)=x^3 和 g(x)=1-x 只有一個交點，且其橫座標大於0 所以 方程 x^3=1-x 只有一個正實根，原命題得證 高數 證明方程x3+x-1=0有且只有一個正實根 7樓：じ袷泤楓葉 證明：令f(x)=x3+x-1，則f(1)=1，f(0)=-1，根據零點定理可得，在區間(0，1)內，至少存在一點t，使得f(t)=0。因為f(x)在r上單調遞增，所以只可能存在一點t，使得f(t)=0，所以求證成立。 手機打不容易啊，呵呵！ 8樓：我不是他舅 設y=x^3+x-1則 y′=3x^2+1>0 所以y=x^3+x-1單調遞增 又因為x=0時y=-1則 y=0時x>0 所以方程x3+x-1=0有且只有一個正實根。 9樓：匿名使用者 x3+x-1=0 x(x2+1)=1 因為x2+1>0 1>0 所以x>0 證明方程x^5-5x+1=0有且僅有一個小於1的正實根 10樓：116貝貝愛 證明如下： x^5-5x+1=0 證明：f(x)=x^5-5x+1 f（0）=1，f(1)=-3，介值定理，有一個根x，使得f（x.）=0 設有x1在（0,1）x1不等於x。 根據羅爾定理，至少存在一個e，e在x.和x1之間，使得f'(e)=0 f『（e）=5（e^4-1)〈0矛盾 ∴為唯一正實根 有界函式判定方法： 設函式f(x)是某一個實數集a上有定義，如果存在正數m 對於一切x∈a都有不等式|f(x)|≤m的則稱函式f(x)在a上有界，如果不存在這樣定義的正數m則稱函式f(x)在a上無界 設f為定義在d上的函式，若存在數m（l），使得對每一個x∈d有： ƒ(x)≤m（ƒ(x)≥l）。 則稱ƒ在d上有上（下）界的函式，m（l）稱為ƒ在d上的一個上（下）界。 根據定義，ƒ在d上有上（下）界，則意味著值域ƒ(d)是一個有上（下）界的數集。又若m(l)為ƒ在d上的上（下）界，則任何大於（小於）m（l）的數也是ƒ在d上的上（下）界。 根據確界原理，ƒ在定義域上有上（下）確界 。一個特例是有界數列，其中x是所有自然數所組成的集合n。所以，一個數列(a0,a1,a2, ... ) 是有界的。 11樓：匿名使用者 x^5-5x+1=0 f(x)=x^5-5x+1 f（0）=1.f(1)=-3.介值定理。有一個根x。使得f（x。）=0 設有x1在（0，1）x1不等於x。根據 羅爾定理，至少存在一個e，e在x。和x1之間，使得f'(e)=0. f『（e）=5（e^4-1)〈0矛盾，所以為唯一正實根 12樓：匿名使用者 δ=25-4=21>0 有根 x1+x2=5 x1×x2=1 相乘為正 可以判斷出 兩根通號 相加為正 可判斷兩根同為正相乘為1 說明兩根不可能都小於1或大於1， 那麼只有一個大於1 一個小於1 所以方程有且只有一個小於1的正實根 13樓：追逐天邊的彩雲 題目好像有問題，不妨令f(x)=x^5-5x+1,可得f(1)=-3,f(3)>0,函式在次區間單調，由零點定理故在1到3之間也有根。反正這類題目考慮單調性和零點定理就能搞定。 證明方程：x的三次+x-1=0有且只有一個正實根 14樓：一代狗王 x^3+x-1=0 x(x^2+1)=1 因為x^2+1>=1 所以x為正實根 若存在另兩根，則這兩根互為相反數，即有負根矛盾，所以只有一個正實根 15樓：善搞居士 設函式抄f(x)=x^3+x-1; 反證法：設方襲程x的三次+x-1=0有兩個以上的正實根 ,取其中的兩個0程只有一個正實根 16樓：匿名使用者 f（x）=x^3+x-1 f'(x)=2x^2+1>0 f(x)單調遞增 f(0)=-1 令f x x 5 2x 100 求導 抄 f x 5x 4 2 0 f x 在r上單調 襲增又 x 0時f 0 0 0 100 0x 3時f 3 243 6 100 0 在區間 0,3 f x 與x軸有一個交點又 f x 在r上單調增 f x 在r上與x軸有一個交點 即方程x 5 2x 100 0有... x 3 x 1 0 x x 2 1 1 因為x 2 1 1 所以x為正實根 若存在另兩根,則這兩根互為相反數,即有負根矛盾,所以只有一個正實根 設函式抄f x x 3 x 1 反證法 設方襲程x的三次 x 1 0有兩個以上的正實根 取其中的兩個0程只有一個正實根 f x x 3 x 1 f x 2x... a是方程x的平方減x減1等於0的一個根 a2 a 1 0 a2 a 1 a3 2a 3 a3 a2 a2 a a 3 a a2 a a2 a a 3 a 1 a 3 4 關於x的方程根號下x的平方 m加2倍的根號下x的平方減去1 x有且僅有一個實數根,求實m的取值範圍 關於x的方程 x 2 m 2 ...證明方程有且僅有正跟,證明方程有且僅有一個正跟
證明方程x的三次x10有且只有正實根
2的x次方減x的平方等於一有且僅有實根