1樓：匿名使用者
設a1,a2,...,as 是某向量組中的一個線性無關部分組擴充步驟如下:
任取向量組中一個向量β專
考慮向量β是屬
否可由a1,a2,...,as線性表示
(1)若β可由a1,a2,...,as線性表示則放棄此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as線性表示則新增此向量得線性無關的部分組a1,a2,...,as,a(s+1):=β
這個部分組為什麼線性無關:
設 k1a1k2a2+...+ksas+kβ = 0由於 β不能由a1,a2,...,as線性表示, 所以有 k =0所以 k1a1k2a2+...+ksas = 0.
再由 a1,a2,...,as 線性無關, k1=k2=...=ks=0
故 a1,a2,...,as,β 線性無關.
如此進行下去, 遍歷整個原向量組, 得一擴充的部分組:
a1,a2,...,ar 滿足:
1) 線性無關
2) 原向量組中任一向量都可由此部分組線性表示故a1,a2,...,ar即為一個極大無關組.
如何證明一個線性無關的向量組的任何一個部分組也線性無關
2樓：定爾芙賽緯
設a1,a2,...,as
是某向量組中的一個線性無關部分組
擴充步驟如下:
任取向量組中一個向量β
考慮向量β是否可由a1,a2,...,as線性表示(1)若β可由a1,a2,...,as線性表示則放棄此向量
(2)若β不能由a1,a2,...,as線性表示則新增此向量得線性無關的部分組a1,a2,...,as,a(s+1):=β
這個部分組為什麼線性無關:
設k1a1k2a2+...+ksas+kβ=0由於β不能由a1,a2,...,as線性表示,所以有k
=0所以
k1a1k2a2+...+ksas=0.
再由a1,a2,...,as
線性無關,
k1=k2=...=ks=0
故a1,a2,...,as,β
線性無關.
如此進行下去,
遍歷整個原向量組,
得一擴充的部分組:
a1,a2,...,ar
滿足:1)
線性無關
2)原向量組中任一向量都可由此部分組線性表示故a1,a2,...,ar即為一個極大無關組.
證明：若一個向量組線性無關，則它的任何一個部分向量組也線性無關。
3樓：匿名使用者
反證法：若某一個部分向量組線性相關，則原向量組線性相關設原向量組為x1,x2……xn,如果某個部分向量組線性相關比如x1,x2,x3,
就是說a1*x1+a2*x2+a3*x3=0 時，a1,a2,a3,不全為0，則對b1*x1+b2*x2+……bn*xn=0
令b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=b5=……=bn=0該式成立，就是b1到bn不全為0
所以原向量組線性相關
4樓：匿名使用者
反證法向量組線性無關
假設部分向量組 , 是1,2,...,n的一個子集若線性相關
則存在不全為零的數列，
使得sigma kni ani =0
然後把向量組補全，令補上的向量的kn全是0 （kni依舊不變）我們就有
sigma kn an =0, 其中kn不全為零，這與原線性向量組線性無關矛盾
所以矛盾
原結論成立
如何確定向量組線性無關，如何判斷向量的線性相關和線性無關性
先把向量組的各列向量拼成一個矩陣，並施行初等行變換變成行階梯矩陣，若矩陣a秩小版於向量個數m，則向權量組線性相關 對於任一向量組而言,不是線性無關的就是線性相關的。向量組只包含一個向量a時，a為0向量，則說a線性相關 若a 0,則說a線性無關。包含零向量的任何向量組是線性相關的。含有相同向量的向量組...
滿秩的向量組都是線性無關的嗎,滿秩的向量組都是線性無關的嗎為什麼
秩,是bai指極大線性無 關組中du向量的個數。滿秩是zhi指,極大dao線性無關組中,向量的個數內,和容向量組中向量的個數相等。這就說明極大線性無關組把整個向量組的向量全部包括進來才行。否則極大線性無關組中的向量個數就不可能和向量組的向量個數相等。而極大線性無關組的向量必須是線性無關的,否則怎麼有...
向量組線性無關的充要條件是什麼？
向量a1，a2，an n 2 線性相關的充要條件是這n個向量中的一個為其餘 n 1 個向量的線性組合。一個向量線性相關的充分條件是它是一個零向量。兩個向量a b共線的充要條件是a b線性相關。三個向量a b c共面的充要條件是a b c線性相關。n 1個n維向量總是線性相關。兩個向量a b共線的充要...