如圖8，在平面直角座標系中，等腰Rt AOB的斜邊OB在x軸上

1樓：同溫雙君

如圖1，在平面直角座標系中，等腰rt△aob的斜邊ob在x軸上，直線y=3x-4經過等腰rt△aob的直角頂點a，交y軸於c點，雙曲線y=

k/x（x＞0）也恰好經過點a．

（1）求k的值；

（2）如圖2，過o點作od⊥ac於d點，求cd²-ad²的值；

（3）如圖3，點p為x軸上一動點．在（1）中的雙曲線上是否存在一點q，使得△paq是以點a為直角頂點的等腰三角形．若存在，求出點p、點q的座標，若不存在，請說明理由．

分析：（1）過點a分別作am⊥y軸於m點，an⊥x軸於n點．由於△aob是等腰直角三角形，得出am=an，即點a的橫座標與縱座標相等．設點a的座標為（a，a），又點a在直線y=3x-4上，列出關於a的方程，求出a的值，進而得到k的值；

（2）由（1）知點a的座標為（2，2），根據勾股定理得出ao²=am²+mo²=8．由點c為直線y=3x-4與y軸的交點，得出oc²=16．根據勾股定理及等式的性質得出cd²-ad²=oc²-oa²=8；

（3）如果過b作bq⊥x軸交雙曲線於q點，連線aq，過a點作ap⊥aq交x軸於p點．由asa易證△aop≌△abq，得出ap=aq，那麼△apq是所求的等腰直角三角形．根據全等三角形的性質及函式圖象與點的座標的關係得出結果．

解：（1）過點a分別作am⊥y軸於m點，an⊥x軸於n點，△aob是等腰直角三角形，

∴am=an．

設點a的座標為（a，a），點a在直線y=3x-4上，

∴a=3a-4，

解得a=2，

則點a的座標為（2，2）．

設此反比例函式的解析式為y=

x/k．將點a（2，2）代入，

求得k=4．

則反比例函式的解析式為y=

4/x．

（2）點a的座標為（2，2），在rt△amo中，ao²=am²+mo²=4+4=8．

∵直線ac的解析式為y=3x-4，則點c的座標為（0，-4），oc=4．

在rt△cod中，oc²=od²+cd²（1）；

在rt△aod中，ao²=ad²+od²（2）；

（1）-（2），得cd²-ad²=oc²-oa²=16-8=8．

（3）雙曲線上是存在一點q（4，1），使得△paq是等腰直角三角形．過b作bq⊥x軸交雙曲線於q點，連線aq，過a點作ap⊥aq交x軸於p點，則△apq為所求作的等腰直角三角形．

在△aop與△abq中，∠oab-∠pab=∠paq-∠pab，

∴∠oap=∠baq，

ao=ba，∠aop=∠abq=45°，

∴△aop≌△abq（asa），

∴ap=aq，

∴△apq是所求的等腰直角三角形．

∵b（4，0），點q在雙曲線y=

4/x上，

∴q（4，1），則op=bq=1．

則點p、q的座標分別為（1，0）、（4，1）．