1樓：銳賢襲媚
原理：欲證n元不等式：f(x1,x2,x3,...xn)>=0.....*
如果有f(x1,x2,x3,...xn)>=f1(x1,x2,x3,...xn)
f1(x1,x2,x3,...xn)>=f2(x1,x2,x3,...xn)
...fk(x1,x2,x3,...xn)>=0
那麼*成立
而且，這些不等式都比*容易證明
這就是放縮法，利用了不等式的傳遞性，很簡單：a>=b,b>=c
=>a>=c
所以。當一個不等式看起來很不好證明，那麼就可以「分解」成幾步來證明
弊端：容易造成：放縮過度
比如要證a>=c
那麼先證了：a>=b
但是若b>=c不恆成立，更有甚者會出現b<=c恆成立的情況。。
那麼就失敗了。。
所以，要練好放縮法有兩點：
（1）把一邊放縮成熟悉的結構，比如把不對稱放縮成對稱，把不齊次放縮成齊次，把不能裂項求和的放縮成可以裂項求和的。。。
（2）不要放縮過度（這就要經驗）
2樓：掌秀榮藩緞
常用的放縮有：
ⅰ.1/k^2
的放縮(1)
1/[k(k+1)]
<1/k^2
<1/[k(k-1)]
ⅱ.1/√k
的放縮2/(√k+√k+1)
<2/(2√k)
<2/(√k+√k-1)
ⅲ.1/k^2
的放縮(2)
1/k^2
<1/(k^2-1)
=1/(k+1)(k-1)
=(1/2)[1/(k-1)-1/(k+1)]
ⅳ.1/k^2
的放縮(3)
1/k^2
=4/(4k^2)
<4/(4k^2-1)
=2[1/(2k-1)-1/(2k+1)]
ⅴ.變數集中法
|a+b|/(1+|a+b|)=1/(1/|a+b|+1)
<=(|a|+|b|)/(1+|a|+|b|)
ⅵ.建構函式法(沿用ⅴ的例子)
f(x)
=x/(1+x)
(x>=0)
從而實現函式性質的放縮
f(|a+b|)
<=f(|a|+|b|)
例題：證明1/2-1/(n+1)<1/2^2+1/3^2+......+1/n^2<(n-1)/n
(n=2,3,4...)
解:∵1/2^2+1/3^2+......1/n^2>1/2*3+1/3*4+......
+1/n*(n+1)=1/2-1/3+1/3-1/4+......+1/n-1/(n+1)=1/2-1/(n+1)即左側
1/2^2+1/3^2+......1/n^2<1/1*2+1/2*3+......+1/(n+1)*n=1-1/2+1/2-1/3+......1/(n-1)-1/n=1-1/n
即右側∴1/2-1/(n-1)<1/2^2+1/3^2+......+1/n^2<(n-1)/n
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