1樓:匿名使用者
額?你是說2項,3項,4項,......,n項的完全平方公式吧?
其實因式分解後每項的係數都是楊輝三角上對應的數~~~
因式分解的真正含義和方法
2樓:匿名使用者
因式分解(factorization)
因式分解指的是把一個多項式分解為幾個整式的積的形式,它是中學數學中最重要的恆等變形之一,它被廣泛地應用於初等數學之中,是我們解決許多數學問題的有力工具.因式分解方法靈活,技巧性強,學習這些方法與技巧,不僅是掌握因式分解內容所必需的,而且對於培養學生的解題技能,發展學生的思維能力,都有著十分獨特的作用.初中數學教材中主要介紹了提取公因式法、運用公式法、分組分解法和十字相乘法.而在競賽上,又有拆項和添項法,待定係數法,雙十字相乘法,輪換對稱法等.
(1)提公因式法
1公因式:各項都含有的公共的因式叫做這個多項式各項的公因式。
2提公因式法:一般地,如果多項式的各項有公因式,可以把這個公因式提到括號外面,將多項式寫成因式乘積的形式,這種分解因式的方法叫做提公因式法.。
am+bm+cm=m(a+b+c)
3具體方法:當各項係數都是整數時,公因式的係數應取各項係數的最大公約數;字母取各項的相同的字母,而且各字母的指數取次數最低的. 如果多項式的第一項是負的,一般要提出「-」號,使括號內的第一項的係數是正的.
(2)運用公式法
1平方差公式:. a^2-b^2=(a+b)(a-b)
2完全平方公式: a^2±2ab+b^2=(a±b)^2
※能運用完全平方公式分解因式的多項式必須是三項式,其中有兩項能寫成兩個數(或式)的平方和的形式,另一項是這兩個數(或式)的積的2倍.
3立方和公式:a^3+b^3= (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式:a^3-b^3= (a-b)(a^2+ab+b^2).
4完全立方公式: a^3±3a^2b+3ab^2±b^3=(a±b)^3
5a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+......+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+......-b^(m-2)a+b^(m-1)](m為奇數)
(3)分組分解法
分組分解法:把一個多項式分組後,再進行分解因式的方法.
分組分解法必須有明確目的,即分組後,可以直接提公因式或運用公式.
(4)拆項、補項法
拆項、補項法:把多項式的某一項拆開或填補上互為相反數的兩項(或幾項),使原式適合於提公因式法、運用公式法或分組分解法進行分解;要注意,必須在與原多項式相等的原則進行變形.
(5)十字相乘法
1x^2+(p q)x+pq型的式子的因式分解
這類二次三項式的特點是:二次項的係數是1;常數項是兩個數的積;一次項係數是常數項的兩個因數的和.因此,可以直接將某些二次項的係數是1的二次三項式因式分解:
x^2+(p q)x+pq=(x+p)(x+q)
2kx^2+mx+n型的式子的因式分解
如果能夠分解成k=ac,n=bd,且有ad+bc=m 時,那麼
kx^2+mx+n=(ax b)(cx d)
a \-----/b ac=k bd=n
c /-----\d ad+bc=m
※ 多項式因式分解的一般步驟:
1如果多項式的各項有公因式,那麼先提公因式;
2如果各項沒有公因式,那麼可嘗試運用公式、十字相乘法來分解;
3如果用上述方法不能分解,那麼可以嘗試用分組、拆項、補項法來分解;
4分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。
(6)應用因式定理:如果f(a)=0,則f(x)必含有因式(x-a)。如f(x)=x^2+5x+6,f(-2)=0,則可確定(x+2)是x^2+5x+6的一個因式。
經典例題:
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解:原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.證明:對於任何數x,y,下式的值都不會為33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解:原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
當y=0時,原式=x^5不等於33;當y不等於0時,x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同,而33不能分成四個以上不同因數的積,所以原命題成立
因式分解的十二種方法
把一個多項式化成幾個整式的積的形式,這種變形叫做把這個多項式因式分解。因式分解的方法多種多樣,現總結如下:
1、 提公因法
如果一個多項式的各項都含有公因式,那麼就可以把這個公因式提出來,從而將多項式化成兩個因式乘積的形式。
例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考題)
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1)
2、 應用公式法
由於分解因式與整式乘法有著互逆的關係,如果把乘法公式反過來,那麼就可以用來把某些多項式分解因式。
例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考題)
解:a^2 +4ab+4b^2 =(a+2b)
3、 分組分解法
要把多項式am+an+bm+bn分解因式,可以先把它前兩項分成一組,並提出公因式a,把它後兩項分成一組,並提出公因式b,從而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n,從而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m
解:m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n
= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
對於mx^2 +px+q形式的多項式,如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p,則多項式可因式分解為(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x^2 -19x-6
分析:1 -3
7 22-21=-19
解:7x^2 -19x-6=(7x+2)(x-3)
5、配方法
對於那些不能利用公式法的多項式,有的可以利用將其配成一個完全平方式,然後再利用平方差公式,就能將其因式分解。
例5、分解因式x^2 +3x-40
解x^2 +3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)
6、拆、添項法
可以把多項式拆成若干部分,再用進行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解:bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 換元法
有時在分解因式時,可以選擇多項式中的相同的部分換成另一個未知數,然後進行因式分解,最後再轉換回來。
例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2
8、 求根法
令多項式f(x)=0,求出其根為x1 ,x2 ,x3 ,......xn ,則多項式可因式分解為f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )......(x-xn )
例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6
解:令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0
通過綜合除法可知,f(x)=0根為1/2 ,-3,-2,1
則2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 影象法
令y=f(x),做出函式y=f(x)的影象,找到函式影象與x軸的交點x1 ,x2 ,x3 ,......xn ,則多項式可因式分解為f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )......(x-xn )
例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6
解:令y= x^3 +2x^2 -5x-6
作出其影象,與x軸交點為-3,-1,2
則x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先選定一個字母為主元,然後把各項按這個字母次數從高到低排列,再進行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析:此題可選定a為主元,將其按次數從高到低排列
解:a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
將2或10代入x,求出數p,將數p分解質因數,將質因數適當的組合,並將組合後的每一個因數寫成2或10的和與差的形式,將2或10還原成x,即得因式分解式。
例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15
解:令x=2,則x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105
將105分解成3個質因數的積,即105=3×5×7
注意到多項式中最高項的係數為1,而3、5、7分別為x+1,x+3,x+5,在x=2時的值
則x^3 +9x^2 +23x+15可能=(x+1)(x+3)(x+5) ,驗證後的確如此。
12、待定係數法
首先判斷出分解因式的形式,然後設出相應整式的字母系數,求出字母系數,從而把多項式因式分解。
例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4
分析:易知這個多項式沒有一次因式,因而只能分解為兩個二次因式。
解:設x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)
= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd
所以 解得
則x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
初學因式分解的「四個注意」
因式分解初見於九年義務教育三年制初中教材《代數》第二冊,在初二上學期講授,但它的內容卻滲透於整個中學數學教材之中。學習它,既可以複習初一的整式四則運算,又為本冊下一章分式打好基礎;學好它,既可以培養學生的觀察、注意、運算能力,又可以提高學生綜合分析和解決問題的能力。其中四個注意,則必須引起師生的高度重視。
因式分解中的四個注意散見於教材第5頁和第15頁,可用四句話概括如下:首項有負常提負,各項有「公」先提「公」,某項提出莫漏1,括號裡面分到「底」。現舉數例,說明如下,供參考。
例1 把-a2-b2+2ab+4分解因式。
解:-a2-b2+2ab+4=-(a2-2ab+b2-4)=-(a-b+2)(a-b-2)
這裡的「負」,指「負號」。如果多項式的第一項是負的,一般要提出負號,使括號內第一項係數是正的。防止學生出現諸如-9x2+4y2=(-3x)2-(2y)2=(-3x+2y)(-3x-2y)=(3x-2y)(3x+2y)的錯誤?
如例2 △abc的三邊a、b、c有如下關係式:-c2+a2+2ab-2bc=0,求證這個三角形是等腰三角形。
分析:此題實質上是對關係式的等號左邊的多項式進行因式分解。
證明:∵-c2+a2+2ab-2bc=0,∴(a+c)(a-c)+2b(a-c)=0,∴(a-c)(a+2b+c)=0.
又∵a、b、c是△abc的三條邊,∴a+2b+c>0,∴a-c=0,
即a=c,△abc為等腰三角形。
例3把-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1分解因式。解:-12x2nyn+18xn+2yn+1-6xnyn-1=-6xnyn-1(2xny-3x2y2+1)
這裡的「公」指「公因式」。如果多項式的各項含有公因式,那麼先提取這個公因式,再進一步分解因式;這裡的「1」,是指多項式的某個整項是公因式時,先提出這個公因式後,括號內切勿漏掉1。防止學生出現諸如6p(x-1)3-8p2(x-1)2+2p(1-x)2=2p(x-1)2[3(x-1)-4p]=2p(x-1)2(3x-4p-3)的錯誤。
例4 在實數範圍內把x4-5x2-6分解因式。
解:x4-5x2-6=(x2+1)(x2-6)=(x2+1)(x+6)(x-6)
這裡的「底」,指分解因式,必須進行到每一個多項式因式都不能再分解為止。即分解到底,不能半途而廢的意思。其中包含提公因式要一次性提「乾淨」,不留「尾巴」,並使每一個括號內的多項式都不能再分解。
防止學生出現諸如4x4y2-5x2y2-9y2=y2(4x4-5x2-9)=y2(x2+1)(4x2-9)的錯誤。
由此看來,因式分解中的四個注意貫穿於因式分解的四種基本方法之中,與因式分解的四個步驟或說一般思考順序的四句話:「先看有無公因式,再看能否套公式,十字相乘試一試,分組分解要合適」是一脈相承的。
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