1樓:古夏黑茶徽羅傑
不是,書中好像有舉例x的絕對值在x=0這個就是不可導,但是連續的。
一個函式不連續就一定不可導,為什麼
2樓:子不語望長安
證明過程:
x=x0點的導數:lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
若函式在x0點可導,極限必須存在,設極限為a
即lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=a
f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
所以lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]=lim(x→x0)(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=lim(x→x0)(x-x0)*lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=0*a=0
而lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]=lim(x→x0)f(x)-lim(x→x0)f(x0)
因為f(x0)是常數,所以lim(x→x0)f(x0)=f(x0)
所以lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]=lim(x→x0)f(x)-f(x0)=0
lim(x→x0)f(x)=f(x0),所以連續。
函式可導的條件:
如果一個函式的定義域為全體實數,即函式在其上都有定義,那麼該函式是不是在定義域上處處可導呢?答案是否定的。
函式在定義域中一點可導需要一定的條件:函式在該點的左右導數存在且相等,不能證明這點導數存在。只有左右導數存在且相等,並且在該點連續,才能證明該點可導。
可導的函式一定連續;連續的函式不一定可導,不連續的函式一定不可導。
在微積分學中,一個實變數函式是可導函式,若其在定義域中每一點導數存在。直觀上說,函式影象在其定義域每一點處是相對平滑的,不包含任何尖點、斷點。
3樓:韓苗苗
x=x0點的導數:lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
若函式在x0點可導,極限必須存在,設極限為a
即lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=a
f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
所以lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]=lim(x→x0)(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=lim(x→x0)(x-x0)*lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=0*a=0
而lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]=lim(x→x0)f(x)-lim(x→x0)f(x0)
因為f(x0)是常數,所以lim(x→x0)f(x0)=f(x0)
所以lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]=lim(x→x0)f(x)-f(x0)=0
lim(x→x0)f(x)=f(x0)
f(x)在x0點處極限值等於函式值,所以在x0點處連續。
擴充套件資料
如果一個函式在x0處可導,那麼它一定在x0處是連續函式。
函式可導定義:
(1)設f(x)在x0及其附近有定義,則當a趨向於0時,若 [f(x0+a)-f(x0)]/a的極限存在, 則稱f(x)在x0處可導。
(2)若對於區間(a,b)上任意一點m,f(m)均可導,則稱f(x)在(a,b)上可導。
連續的函式就是當輸入值的變化足夠小的時候,輸出的變化也會隨之足夠小的函式。如果輸入值的某種微小的變化會產生輸出值的一個突然的跳躍甚至無法定義,則這個函式被稱為是不連續的函式。
如果一個函式在定義域中的某個點f(c) 可微,則它一定在點c 連續。反過來不成立;連續的函式不一定可微。例如,絕對值函式在點c=0 連續,但不可微。
4樓:匿名使用者
你看看導數的定義公式
x=x0點的導數的定義公式
lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
如果函式在x0點可導,那麼這個極限必須存在,即等於一個有限常數,設為a
即lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)=a
而f(x)-f(x0)=(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
所以lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]
=lim(x→x0)(x-x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=lim(x→x0)(x-x0)*lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]/(x-x0)
=0*a=0
而lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]
=lim(x→x0)f(x)-lim(x→x0)f(x0)
因為f(x0)是常數(函式式在任何一點上的函式值都是常數)
所以lim(x→x0)f(x0)=f(x0)
所以lim(x→x0)[f(x)-f(x0)]
=lim(x→x0)f(x)-f(x0)=0
lim(x→x0)f(x)=f(x0)
f(x)在x0點處極限值等於函式值,所以在x0點處連續。
這是函式的導數定義公式確定的。
5樓:路路通
一個函式可導則函式一定連續(這個應該不用證了吧) 則如果如果一個函式不連續但可導 就相互矛盾了
6樓:鐔婄悆鐞凁煈
你可以想成逆否命題 可導必連續的逆否命題是不連續一定不可導
7樓:匿名使用者
不一定,有間斷點的,將y=x在點x=1處挖空,y=x在點x=1處就連續了,但y=x在x=1處可導,可導定義只要求左右極限存在且相等,y=x在x趨向於1的左右極限存在且相等=1。
函式不連續也可以可導的。
函式在某點左右可導是否能推出該函式在那一點連續?
8樓:匿名使用者
本題bai不連續(注意本題左右導數
du也不等)zhi
但是,注意:
[可導],與[左右導dao數存在相等]並不是同回一概念。
對於分段函式,如果在x=x0不連續,即便左右導數存在並且相等,那也不能說在x=x0可導。
可導,答前提就是必須在x=x0連續,並且左右導數相等。
9樓:匿名使用者
可導一定連續來,但連續自不一定可導。
bai某一點左右可導並不能保du證這一zhi點可導(可導必須滿dao足此點左右導數相等。)
你在圖中寫的那個函式在x=0處是不可導的,因為函式在x=0處雖有左導數跟右導數,但兩者不相等(左導數是1,右導數是-1),故函式在x=0處不可導,從而也就不連續了
10樓:徐忠震
是的。函式在一點連
bai續要滿足du
三個條件,一zhi是在該點有定義,二是在該點的dao函式左右極限存在內且相等,三容是左右極限等於函式在該點的函式值,因此滿足可導條件之後,符合上面三個條件,所以函式在某點左右可導能推出該函式在那一點連續。
連續(continuity)的概念最早出現於數學分析,後被推廣到點集拓撲中。
假設f:x->y是一個拓撲空間之間的對映,如果f滿足下面條件,就稱f是連續的:對任何y上的開集u, u在f下的原像f^(-1)(u)必是x上的開集。
若只考慮實變函式,那麼要是對於一定區間上的任意一點,函式本身有定義,且其左極限與右極限均存在且相等,則稱函式在這一區間上是連續的。
分為左連續和右連續。在區間每一點都連續的函式,叫做函式在該區間的連續函式。
11樓:鎏念
你舉得這個例子很顯然不符合,因為右並不可導
12樓:匿名使用者
樓主,你把右導數表示式寫出來,你看看它極限存在嗎?只能說左連續
13樓:涼念若櫻花妖嬈
可以。因為在某點左(右)可導則必左(右)連續(證明方法與 「可導必連續」專
的證明類似),因而若函式在屬某點左、右可導必可推出在該點連續的結論。
某一點左右可導並不能保證這一點可導(可導必須滿足此點左右導數相等。)
14樓:匿名使用者
可導一定連續,但連續不一定可導。
某一點左右可導並不能保證這一點可導
(可導必須滿足此點左右導數相等。)
15樓:匿名使用者
本題不連續(注意本題左右
導數也不等)
但是,注意:
[可導],與[左右導數存在相等專]並不是同一概念屬。
對於分段函式,如果在x=x0不連續,即便左右導數存在並且相等,那也不能說在x=x0可導。
可導,前提就是必須在x=x0連續,並且左右導數相等。
函式在一點連續要滿足三個條件,一是在該點有定義,二是在該點的函式左右極限存在且相等,三是左右極限等於函式在該點的函式值,因此滿足可導條件之後,符合上面三個條件,所以函式在某點左右可導能推出該函式在那一點連續。
連續(continuity)的概念最早出現於數學分析,後被推廣到點集拓撲中。 假設f:x->y是一個拓撲空間之間的對映,如果f滿足下面條件,就稱f是連續的:
對任何y上的開集u, u在f下的原像f^(-1)(u)必是x上的開集。
若只考慮實變函式,那麼要是對於一定區間上的任意一點,函式本身有定義,且其左極限與右極限均存在且相等,則稱函式在這一區間上是連續的。 分為左連續和右連續。在區間每一點都連續的函式,叫做函式在該區間的連續函式。
函式可到與連續之間的關係,其中有一句是,連續未必可導,什麼意思? 是不是這個點確定,就不可導了?
16樓:demon陌
連續反映到影象上就是:在定義域內影象是一條連續的線。
首先,連續和可導都是針對某個點而言的。
某點處導數值的幾何含義是切線斜率,則一點處可導反映到影象上就是此點處可做出切線,很顯然此點處斷開、或者出現稜角狀都做不出切線(此點是稜角的頂點,該點處做切線會出現蹺蹺板一樣的情況,無法確定唯一切線),即不可導。
而斷開和稜角狀兩種不可導的情況中,稜角狀的曲線在該點處仍然是連續的。所以連續不一定可導,因為存在連續的但卻是稜角的頂點的點(不可導)。
舉例:y=|x|的例子當中,x=0處是一個直角,所以無法做出切線,會出現蹺蹺板,所以是不可導。
可導→存在切線斜率→存在切線→此點處存在光滑鄰域;處處可導→光滑曲線(無稜角)
17樓:匿名使用者
其實你從影象上更容易理解。連續反映到影象上就是:在定義域內影象是一條連續的線。
首先,連續和可導都是針對某個點而言的。
某點處導數值的幾何含義是切線斜率,則一點處可導反映到影象上就是此點處可做出切線,很顯然此點處斷開、或者出現稜角狀都做不出切線(此點是稜角的頂點,該點處做切線會出現蹺蹺板一樣的情況,無法確定唯一切線),即不可導。
而斷開和稜角狀兩種不可導的情況中,稜角狀的曲線在該點處仍然是連續的。所以連續不一定可導,因為存在連續的但卻是稜角的頂點的點(不可導)。
y=|x|的例子當中,x=0處是一個直角,所以無法做出切線,會出現蹺蹺板,所以是不可導。
如果從可導定義中來看,必須左右導數同時存在並且相等,x=0處左右導數均存在,但是不相等。此處左右導數不相等就意味著此點處會出現斜率突變,反映到直觀影象上就是「稜角」,只是轉換成了數學語言表達。
注:理解好導數的幾何意義非常有利於幫助理解可導和連續之間的關係。
可導→存在切線斜率→存在切線→此點處存在光滑鄰域;處處可導→光滑曲線(無稜角)
高數函式可導充分必要條件函式在某一點可導的充分必要條件是什麼？函式在某一點導函式連續的充分必要條件是什麼？
以下3者成立 左右導數存在且相等是可導的充分必要條件。可導必定連續。連續不一定可導。所以，左右導數存在且相等就能保證該點是連續的。僅有左右導數存在且該點連續不能保證可導 例如y x 在x 0點。擴充套件資料 相對於初等數學而言，數學的物件及方法較為繁雜的一部分。廣義地說，初等數學之外的數學都是高等數...
做人是不是要熱情一點，做人是不是要熱情一點
不一定！我就討厭熱情的人！熱情別人比較容易親近你 適當，看對誰，看場合 要看情況而定不能亂熱 做人為什麼不能太熱情與重情？現在不是都說做事應該講個 度 嗎？熱情不是不好，重情也不是不好，太過分了就會讓別人感到彆扭和不舒服，所以凡事 適度 最好了。一看到這個問題我也有同感了，是不能太過了，太熱情太重情...
函式在某一點存在極限，連續，可導三種情況的條件之間有什麼聯絡
同意樓上的，連續一定可導，從連續的定義就能知道，左右極限存在且相等 但是可導不一定連續，比如斷線 x一樣，y變化 它的左右極限不相等，自然不連續。檢視一下高等數學第一章導數與極限就明白了。lim x 1 2 sin 1 x 2 x趨於0 時 limx 1 2 sin 1 x 2 0 a ae 1,1...