設函式fx在區間a上連續,有limx

1樓:

因為bailim(x→+∞)f(x)存在且有限,du設為c

根據定義,任zhi意ε

dao>0,存在x>a,當x>x,有|f(x)-c|<ε不妨取ε=1

即有回,c-1答[a,+∞)上連續

那麼,對上述x>a,有f(x)在區間[a,x]上連續因此,由最值定理得:f(x)在[a,x]上必有最大值f(x)max和最小值f(x)min

即有:f(x)min≤f(x)≤f(x)max,x∈[a,x]那麼,取:

max=max

min=min

於是,有:

min≤f(x)≤max,x∈[a,+∞)因此f(x)有界

有不懂歡迎追問

若f(x)在[a,+∞)上連續,且limx→+∞f(x)存在,證明f(x)在[a,+∞)上有界

2樓:drar_迪麗熱巴

因為lim(x->+∞)f(x)存在,不妨令其為a

則根據極限定義,對ε=1,存在正數d>0,使對任意x>d,有|f(x)-a|<1

即a-1若da,有a-1若d>=a,因為f(x)在[a,d]上連續,所以f(x)在[a,d]上有界

即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界

綜上所述,f(x)在[a,+∞)上有界

若存在兩個常數m和m,使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界,其中m是它的下界,m是它的上界。

關於函式的有界性.應注意以下兩點:

(1)函式在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界(見圖2).如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間,那麼函式一定是無界的。

如果自變數在某一點處的增量趨於0時,對應函式值的增量也趨於0,就把f(x)稱作是在該點處連續的。

注意:在函式極限的定義中曾經強調過,當x→x0時f(x)有沒有極限,與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。

但由於現在函式在x0處連續,則表示f(x0)必定存在,顯然當δx=0(即x=x0)時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。

3樓:普海的故事

設limf(x)=a (x趨於無窮大)

∴任意ε 存在x>a 當x>x時 |f(x)-a|<ε/4 ∴對任意x1、x2∈(x,+∞) 有|f(x1)-f(x2)|≤|f(x1)-a|+|f(x2)-a|<ε/2

由康託定理 f(x)在[a,x]一致連續 因而存在δ

從而對任意x1,x2∈[a,+∞)只要|x1-x2|<δ 就有|f(x1)-f(x2)|<ε/2+ε/2=ε

∴其一致連續

設函式f(x)在區間[a,+∞)上連續,並且極限limx→∞f(x)存在且有限,證明f(x)?

4樓:豌豆凹凸秀

因為lim(x->+∞)f(x)存在,不妨令其為a

則根據極限定義,對ε=1,存在正數d>0,使對任意x>d,有|f(x)-a|<1

即a-1若da,有a-1若d>=a,因為f(x)在[a,d]上連續,所以f(x)在[a,d]上有界

即f(x)在[a,d]∪(d,+∞)=[a,+∞)上有界

綜上所述,f(x)在[a,+∞)上有界

若存在兩個常數m和m,使函式y=f(x),x∈d 滿足m≤f(x)≤m,x∈d 。 則稱函式y=f(x)在d有界,其中m是它的下界,m是它的上界。

關於函式的有界性.應注意以下兩點:

(1)函式在某區間上不是有界就是無界,二者必屬其一;

(2)從幾何學的角度很容易判別一個函式是否有界(見圖2).如果找不到兩條與x軸平行的直線使得函式的圖形介於它們之間,那麼函式一定是無界的。

如果自變數在某一點處的增量趨於0時,對應函式值的增量也趨於0,就把f(x)稱作是在該點處連續的。

注意:在函式極限的定義中曾經強調過,當x→x0時f(x)有沒有極限,與f(x)在點x0處是否有定義並無關係。

但由於現在函式在x0處連續,則表示f(x0)必定存在,顯然當δx=0(即x=x0)時δy=0<ε。於是上述推導過程中可以取消0<|δx|這個條件。

設函式f(x)在區間[a,+∞)上連續,有lim(x→+∞)f(x)存在且有限,則f(x)在[a,+∞)上____ a有界 b無界

5樓:符離

有界的意思並不是非得有上界有下界:如果這個函式在趨於正無窮有上屆就稱他有界,如果趨於負無窮有下界也叫有界

6樓:茹翊神諭者

詳情如圖所示

有任何疑惑,歡迎追問

設函式f在[0,+∞]上具有連續的導函式,且lim(x→+∞)f'(x)存在有限,0