1樓:寧寧不哭
因為:limx→0
f(x)ex
?1=2,du且zhi
limx→0ex
?1=0,
所以:f(0)=lim
x→0f(x)=0,
利用導數的定dao義可得:
f′(版0)=lim
x→0f(x)?f(0)
x?0=lim
x→0f(x)
x=lim
x→0f(x)ex
?1?ex?1
x=lim
x→0f(x)ex
?1lim
x→0ex?1
x=2.
所以,y=f(x)在x=0的切線的斜率為2,故:權法線斜率為?12,
從而,曲線y=f(x)在x=0處的法線方程為:
y-f(0)=?1
2(x?0),
即:y=?12x.
故答案為:y=?12x.
設f(x)在點x=0的某一鄰域內具有二階連續導數,且limx→0f(x)x=0,證明級數∞n=1f(1n)絕對收斂
2樓:遺棄的紙湮
∵f(x)在點x=0的某一鄰域內具有二階連續導數,即f(x),f'(x),f''(x)在x=0的某一鄰域均連續
且:lim
x→0f(x)x=0
∴f(x)=f(0)=0 lim
x→0f(x)?f(0)x=0
∴f』(0)=0
∴lim
x→0f(x)
x=lim
x→0f』(x)
2x=lim
x→0f』(x)?f』(0)
2x=1
2f』』(0)
∴lim
n→∞|f(1n)
(1n)|是一常數
∴由比值判別法可知原級數絕對收斂
已知f(x)在x=0的某個鄰域內連續,且limx->0f(x)/1-cosx=2,則在x=0處f(x)?
3樓:小小芝麻大大夢
limx->0f(x)/(1-cosx)=2。
∵x->0分母1-cosx→0。
極限=2,f(0)→0。
洛必達法則:
lim(x->0)f(x)/(1-cosx)=lim(x->0)f'(0)/sin0,分母依舊為0,極限存在,f'(0)=0。
繼續求導:=lim(x->0)f''(0)/cos0=2。
∴f''(0)=2>0。
∴f(0)=0為極小值。
4樓:人生如戲
前面直接用洛必達的不對,因為題目沒有提到且沒辦法推出f(x)在x=0的某鄰域內可導,只是在某鄰域內連續而已。本題主要通過函式連續的定義、導數定義、函式極限的保號性、極值定義求解。注意判定極值的時候,不能用極值的三個充分條件判定,因為他們的前提都是在x0的某鄰域內可導。
5樓:星丶
由於1-cosx在x=0的左鄰域與右鄰域內都有limx→0 1-cosx>0 由保號性與連續性可知鄰域內的點有limx→0 f(x)=f(x)>0=f(0) 即f(0)是極小值點
由極小值的定義如下:一般地,設函式f(x)在x0附近有定義,如果對x0附近的所有的點,都有f(x)>f(x0),就說f(x0)是函式f(x)的一個極小值,記作y極小值=f(x0),x0是極小值點。
看了他們的答案好像都用到了導數,實際這題考察的是極值的原始定義
6樓:低言淺唱情詩
證明:由(x→0)limg(x)/x=-1 (極限為-1,分母趨於0,則分子必趨於0)
可知(x→0)limg(x)=0 即g(0)=0於是(x→0)lim[g(x)-g(0)]/(x-0)=-1則g(x)在該鄰域內可導且g'(0)=-1(x→0)limf(x)/g2(x)=2
因為(x→0)limg2(x)=0
則(x→0)limf(x)=0
f(0)=0
對(x→0)limf(x)/g2(x)=2進行變形(x→0)limf(x)/g2(x)
=(x→0)lim[f(x)/x][x2/g(x)]=(x→0)lim[f(x)/x2]•(x→0)limx2/g(x) (變成兩個極限之積,並對右邊的極限用洛必達法則)
=(x→0)lim[f(x)/x2]•(x→0)limx/g(x)•(x→0)lim1/g'(x)
=(x→0)lim[f(x)/x2]•(-1)•(-1)=2因此f(x)=2x2+o(x)
於是可以得到(x→0)limf(x)/x=0即f'(0)=0
7樓:匿名使用者
前面所bai
有用洛必達的也真是不du
怕誤人子弟啊。
zhi。這題考的是定義啊,偏偏dao正版
確答案放在了最下面。
連續卻未告權知可導,洛洛洛,泰勒都要哭了誒。下面答案中有用定義做的建議提到推薦答案,答案中1-cosx用了泰勒近似1/2x^2+o(x^2)
8樓:緊抱著大神腿
首先 有f(0) = 0; 等價來無窮小 1-cosx ~1/2x2
lim x->0 (f(x)-f(0))/(x-0) = lim x->0 x * f(x)/x2 = 0 所以f'(0) = 0;
lim x->0 ((f(x)-f(0))/(x-0) -f'(0))/(x-0) = f''(x) = lim x->0 f(x) /x2 =1>0;
顯然自因為bai f'(0) = 0; f''(0)>0。所以在x=0處有極小值du!
純手打,有bug的地
zhi方請提出,水平有限有dao誤地方請見諒 謝謝!
已知函式f(x,y)在點(0,0)的某個鄰域內連續,且limx→0,y→0f(x,y)-xy(x2+y2)2=1,則( )a.
9樓:巢秀榮容子
當x→0時,
bai3x-1→0,故原極限du形式為:00型,zhi
當x→dao0時,3x-1~ln3
x,ln(1+x)~x,sinx~x,
利用上述內等價無窮小代容
換,計算可得:
limx→0
ln(1+
f(x)
sin2x
)3x?1
=lim
x→0f(x)
2xln3 x=1
2ln3
limx→0
f(x)x2.
所以:1
2ln3
limx→0
f(x)
x2=5,
故:lim
x→0f(x)
x2=10ln3,
故答案為:10ln3.
10樓:十六夜
由lim
x→0,y→0
f(x,y)-xy
(x+y
)=1知,du
因此分母的極zhi限趨於0,故分子的極限必為零,從而dao有f(0,0)=0;
因為極限等版於1;故f(x,y)-xy~(權x2+y2)2(|x|,|y|充分小時),
於是f(x,y)~xy+(x2+y2)2.因為:f(0,0)=0;
所以:f(x,y)-f(0,0)~xy+(x2+y2)2.可見當y=x且|x|充分小時,
f(x,y)-f(0,0)≈x2+4x4>0;
而當y=-x且|x|充分小時,f(x,y)-f(0,0)≈-x2+4x4<0.
故點(0,0)不是f(x,y)的極值點.
故選:a.
設f x 在x 0的鄰域內具有二階導數,且lim x趨於0 1 x f x
1 e e limln 1 x f x x x極限存在，故 f 0 0，limf x x 0故f 0 03 lim x f x x x lim1 f x x 故f 0 4 2 e limln 1 f x x x e limf x x e 2 設f x 在x 0的鄰域內具有二階導數,且lim x趨於0...
設函式fx在xa的某個鄰域內有定義,則fx在xa
a.lim x趨近於0 f a 2h f a h h f a 是充要條件 b.lim x趨近於0 f a h f a h 2h 3f a 2 設函式f x 在x a的某個鄰域內有定義,則f x 在x a處可導的一個充分條件是?請寫出分析過程 你可以看看具體的分析,同濟大學教材第六版或者是第五版答案的...
設f（x）在x a的某個鄰域內有定義，則f（x）在x a處可導的充分條件
你可以看看具體的分析，同濟大學教材第六版或者是第五版答案的 設f x 在x a的某個鄰域內有定義，則f x 在x a處可導的一個充分條件是 設函式f x 在x a的某個鄰域內有定義，則f x 在x a處可導的一個充分條件是？a.lim h趨近 於0 f a 2h f a h h存在 b.lim h趨...