1樓：紫羅蘭愛橄欖樹
均值不等式：
1、調和平均數：hn=n/(1/a1+1/a2+...+1/an)
2、幾何平均數：gn=(a1a2...an)^(1/n)
3、算術平均數：an=(a1+a2+...+an)/n
4、平方平均數：qn=√ [(a1^2+a2^2+...+an^2)/n]
這四種平均數滿足hn≤gn≤an≤qn （a1，a2……，an為非負數）
當n=2時，其可以表示為
2/[(1/a)+(1/b)]=2(a+b)/ab≤√ab≤(a+b)/2≤√【(a²+b²)/2】=【(√2)/2】•√(a²+b²)
現在我們要利用的是最後面的 (a+b)/2≤【(√2)/2】•√(a²+b²)
即√(a²+b²)≥【(√2)/2】•(a+b)
解：因為a，b，c為非負實數【原題中寫的是「非零負實數」，似乎不對，於是就改了】
所以√（a²+b²)+√（b²+c²)+√（c²+a²)
≥【(√2)/2】•(a+b)+ 【(√2)/2】•(b+c)+ 【(√2)/2】•(c+a)
=(√2)•(a+b+c)
原命題得證
【希望對你有幫助】
2樓：匿名使用者
a,b,c應為非負實數
a²+b²>=2ab
所以√（a²+b²)>=√(2ab)
同理√（b²+c²)>=√(2bc) √（a²+c²)>=√(2ac)
√（a²+b²)+√（b²+c²)+√（c²+a²) ≥ √(2ab)+√(2bc)+√(2ac)
a+b>=2√(ab)
同時a+c>=2√(a) c+b>=2√(cb)2(a+b+c)>=2(√(ab)+√(bc)+√(ac))(a+b+c)>=(√(ab)+√(bc)+√(ac))所以√（a²+b²)+√（b²+c²)+√（c²+a²) ≥ √(2)*(a+b+c)
已知a b c屬於實數，求證a²/b+b²/c+c²/a≥a+b+c
3樓：匿名使用者
^^因為復a,b,c∈r+
所以：(bc/2a)+(ac/2b)≥2√制[(bc/2a)(ac/2b)]=2√(abc^2/4ab)=c
(bc/2a)+(ab/2c)≥2√[(bc/2a)(ab/2c)]=2√(acb^2/4ac)=b
(ac/2b)+(ab/2c)≥2√[(ac/2b)(ab/2c)]=2√(bca^2/4bc)=a
三式相bai加即得:
(bc/a)+(ac/b)+(ab/c)≥a+b+c
2)a+b+c=1
由基本不等du式：(a+b+c)/3<=根號zhi[(a^2+b^2+c^2)/3]，等號當且dao僅當a=b=c時成立
所以根號a+根號b+根號c<=3根號[(a+b+c)/3]=根號3
等號當且僅當a=b=c=1/3時成立
4樓：匿名使用者
a=√zhib×a/√b≤(b+a²/b)/2b=√c×daob/√c≤(c+b²/c)/2c=√a×c/√a≤(a+c²/a)/2
三式版相加
權a+b+c≤(a+b+c)/2+(a²/b+b²/c+c²/a)/2
5樓：匿名使用者
若a,b,c為正，求證：2{（a+b)/2-√ab}≤3{（a+b+c）/3-三次根號下abc}.
6樓：天使和海洋
已知來：a、b、c均為正數源，求證：
2≤3證明：化簡上述要證的不等式：
(a+b)-2√(ab)≤(a+b+c)-3³√(abc)3³√(abc)≤2√(ab)+c
我們已經學過：若a、b、c均為正數，則有a+b+c≥³√(abc)，那麼，數似的有2√(ab)+c=√(ab)+√(ab)+c≥³√[√(ab)×√(ab)×c]=³√(abc)，即2√(ab)+c≥³√(abc)成立，
逆推回去，得證！
已知n＞0,求證:3n+(4/n²)≥3³√9.
證明：3n+(4/n²)=(3n/2)+(3n/2)+(4/n²)≥3³√[(3n/2)×(3n/2)×(4/n²)]=3³√9.
上述2題，關鍵在於一個「拆」字：將多項式拆成證題所需的多項式！
7樓：匿名使用者
因為(a+b)/2>=ab根號下 (a+b+c)>=abc根號下所以>=0 >=0所以分別乘以2和3，所以前者小於後者
設a b c都是正實數，a a 3，求證 a b c
證明如下 a b c是正實數，有abc a b b c c a 3abc，a 2c ab 2 bc 2 3abc，a 2c abc ab 2 abc bc 2 abc 0，ac a b ab b c bc c a 0。兩邊同除以abc，得 a b b b c c c a a 0，a b b c c ...
設非零實數ab,則a2b22ab是abba
由a2 b2 2ab,則a,b r,當 自ab 0時,ab ba 0,則ab b a 2不成立,即充分性不成立,若ab ba 2,則a b 0,即ab 0,則不等式等價為a2 b2 2ab,則a2 b2 2ab成立,即必要性成立,故 a2 b2 2ab 是 ab b a 2 成立的必要不充分條件,故...
設a,b,c是正數，且a b大於c，求證 a除以（1 a 加上b除以（1 b 大於c除以 1 c
a 1 a a 1 a b b 1 b b 1 a b a 1 a b 1 b a b 1 a b 令a b c t t 0 a 1 a b 1 b c t 1 c t c 1 c 最後一步用的是真分數性質 a 1 a b 1 b a b 1 a b ab a b 2 1 a 1 b 1 a b 0...