1樓：匿名使用者
^^由於1/a^3(b+c)=abc/a^2(ab+bc)=1/a^2(1/b+1/c)令x=1/a,y=1/b,z=1/c,又由於abc=1，a、b、c∈r+，有xyz=1,且x、y、z∈r+，於是只需證明x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥3/2.因為x^2/(y+z)+(y+z)/4≥x,y^2/(x+z)+(x+z)/4≥y,z^2/(x+y)+(x+y)/4≥z,以上三式相加得x^2/(y+z)+y^2/(x+z)+z^2/(x+y)≥(x+y+z)/2≥3(xyz)^(1/3)/2=3/2。得證
基本不等式
參考以下:
1/(a²(b+c))+1/(b²(a+c))+1/(c²(a+b))
=[1/(a²(b+c))+1/(b²(a+c))+1/(c²(a+b))](abc)²
=(b²c²)/(b+c)+(a²c²)/(a+c)+(a²b²)/(a+b)
>=(bc+ac+ab)²/[2(a+b+c)]
這裡是用了一個重要的不等式，其實是柯西不等式的一個變形,下面有講解
=[a²b²+b²c²+a²c²+2(a²bc+ab²c+abc²)]/[2(a+b+c)]
因為a²b²+b²c²+a²c²
=(1/2)(2a²b²+2b²c²+2a²c²)
=(1/2)(a²b²+b²c²+a²c²+a²b²+b²c²+a²c²)
=(1/2)[b²(a²+c²)+a²(c²+b²)+c²(b²+a²)]
利用均值不等式
>=(1/2)[b²(2ac)+a²(2bc)+c²(2ab)]
=ab²c+a²bc+abc²
=a+b+c
所以[a²b²+b²c²+a²c²+2(a²bc+ab²c+abc²)]/(a+b+c)
>=[a+b+c+2(a+b+c)]/[2(a+b+c)]
=3(a+b+c)/[2(a+b+c)]
=3/2 證畢
柯西不等式
(a²+b²+c²)(x²+y²+z²)>=(ax+by+cz)²
變形為[(a²/x)+(b²/y)+(c²/z)](x+y+z)>=(a²+b²+c²)²
兩邊除以(x+y+z),即
(a²/x)+(b²/y)+(c²/z)>=(a²+b²+c²)²/(x+y+z)
上面有一關鍵步就是利用這個不等式證明的
2樓：天下會無名
注意到，由於abc=1，所以用(abc)^2乘以原式左邊可得：
1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)=(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]
由柯西不等式：
[a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)][(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]]>=(ab+bc+ca)^2
而a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)=2(ab+bc+ca)
所以(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]>=(ab+bc+ca)/2
由均值不等式：ab+bc+ca>=3*三次根號下(a^2b^2c^2)=3
所以1/a^3(b+c)+1/b^3(a+c)+c^3(a+b)=(bc)^2/[a(b+c)]+(ca)^2/[b(c+a)]+(ab)^2/[c(a+b)]>=3/2
證畢。。
已知a0,b0,c0,a b c 1證明根號下a 2 3加根號下b 2 3加根號下c
令 a 2 3 a b 2 3 b c 2 3 c 由柯西不等式得 3 a b c 2 3命題得證 這裡的解主要用的是柯西不等式 a 2 b 2,c 2 3 根號 a 2 3 1 同理其它的也一樣 所以原式成立。設a 0，b 0，c 0，且a b c 1，求證 根號a 根號b 根號c 根號3 由基本...
已知 a0,b0,c0,且a b c 1求證1abc小於或等於
因為a b c 3 abc 1 3 所以abc a b c 3 3 又a b c 1 所以abc 1 3 3 1 27 2 1 a 1 b 1 c a b c a a b c b a b c c 3 b a a b c a a c c b b c 3 2 2 2 9當a b c時,取 1 因為a b...
已知ab,Cd求證aCbd,已知a0,b0,c0,d0,且abcd求證acbdcd
由條件知a b 0,c d 0,兩個正數相加大於0,所以 a b c d 0,所以a c b d 因為a b,所以a c b c 因為c d,所以b c b d 則a c b c b d 兩個不等式想加就得到了,你是來玩的嗎兄弟 兩個大的數之和肯定比兩個小的數之和大啊 已知a 0,b 0,c 0,d...