1樓：譚啟聰
(i)a(n+1)與a(n)之關係.
觀察c上的點q(n), 由於c的方程為 y=x^2
而且q(n)的橫座標為a(n)
所以q(n)的縱座標為a(n)^2.
同時, 觀察l上的點p(n). 由於l的方程為y=ax, p(n)的橫座標為a(n),
所以p(n)的縱座標為a*a(n). (注意區分這裡的兩個a... 第一個a只是y=ax裡的a)
由題設, p(n+1)與q(n)的縱座標相同, 故得:
a*a(n+1)=a(n)^2 ... 1
這就得到a(n+1)與a(n)的關係.
注意由[1]式, 可知a(n+1)>=0, 且當a(n)>0時 a(n+1)>0.
通項公式可以這樣求:
a(n+1)=(a(n))^2 /a
= (a(n-1)^2 /a)^2 /a
= (a(n-1)^4 /a^2) /a
= ((a(n-2)^8 /a^4) /a^2) /a
= ...
= a(1)^(2^n) / a^(1+2+...+2^(n-1))
= a(1)^(2^n) / a^(2^n -1)
= a * (a(1)/a)^(2^n)
即 a(n) = a * (a(1)/a)^(2^(n-1)).
注意當a(1) (ii)當a=1, a(1)<=1/2時, 證明 sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2)<1/32 注意到 a(k+1)=a(k)^2/a=a(k)^2 所以 a(k)-a(k+1) = (a(k-1)^2 - a(k)^2) = (a(k-1) - a(k))(a(k-1)+a(k)) < (a(k-1) - a(k)) (2a(1)) <= a(k-1) - a(k) <= ... <= a(1) - a(2) = a(1) - a(1)^2 = a(1)(1-a(1)) 因此 sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2) <= a(1)*(1-a(1)) * sum_ a(k+2) 而 sum_ a(k+2) =a(3)+a(4)+...+a(n+2) =a(1)^4 + a(1)^8 + a(1)^16 ... + a(1)^(2^(n+1)) < a(1)^4 + a(1)^5 + a(1)^6 + .... = a(1)^4 / (1-a(1)) 因此sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2) <= a(1)*(1-a(1)) * a(1)^4 / (1-a(1)) =a(1)^5 ..... [*] 當a(1)<=1/2時 a(1)^5<=1/32. 證畢. (iii) 當a=1時, 證明 sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2)<1/3 這小題要利用積分. 注意(a(k)-a(k+1))*a(k+1))是拋物線下方矩形的面積 所以sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+1) <= 函式 y=x^2 從a(n+1)到a(1)的積分 =(a(1)^3 - a(n+1)^3)/3 <= a(1)^3 /3 而有更甚, a(k+2)<=a(k+1), 所以 sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2) < a(1)^3 /3......[**] 由題設, a(1) 有趣的是, (iii)中雖然得到了[**]式, 但若以此套用在(ii)中, 則只能得到 sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2)<1/24 和(ii)的要求還有差距. 而回顧(ii)中得到的[*]式, 若直接套用在(iii)中則只能得到 sum_ (a(k)-a(k+1))*a(k+2)<1 也不符合(iii)的要求. 這說明(ii)和(iii)兩種估計方法 (與幾何級數比較; 與積分比較) 各有優劣, 而本題則兩種技巧都考查了. 證明是數學上很難的東西，一般來說沒有通用方法的。甚至有很多題要用到一些很高的技巧，這類技巧通常是不具備一般性的，換一道題就會換一種方法。因此要在這裡說清楚如何做證明題是不可能的。有些證明只能是憑著靈光一閃突然想到，象這類證明題我稱之為 僅供欣賞 做證明題的一般思路就是先把所有已知條件擺出來，把要證的... an 2 中a n 2 還是an 2 an sn sn 1 an an 2 4 an 1 an 1 2 4 an 2 2an an 1 2 2an 1 4 4an an 2 2an an 1 2 2an 1 an 2 2an an 1 2 2an 1 0 an 2 an 1 2 2an 2an 1 ... 書上都有啊！怎麼不好好讀書 求證兩直線相交，只有一個交點.已知 直線a和b交於點o.求證 直線a和b只有一個交點o.證明 假設直線a和b相交不只有一個交點o，那麼a和b至少有兩個交點o p.這時，直線a是由o p兩點確定的直線，直線b也是由o p兩點確定的直線.這樣，由o p兩點就確定了兩條直線.這...怎麼做數學證明題，數學證明題？
數學證明題
數學證明題