1樓：匿名使用者
證明：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=0.5n(n+1)(2n+1)-1
因為 n(n+1) 為連續二整數的積，必可被2整除。
所以 0.5n(n+1)(2n+1) 對任何整數n均為整數
所以 0.5n(n+1)(2n+1)-1 為整數，即 ( n^3+1.5n^2+0.5n-1) 為整數
因為 0.5n(n+1)(2n+1) = 4n(n+1)(2n+1)/8 = 2n(2n+1)(2n+2)/8
2n、(2n+1)、(2n+2) 為三個連續整數，其積必為3的倍數，而2與3互質，
所以 0.5n(n+1)(2n+1) 是能被3整除的數。
所以 ( n^3+1.5n^2+0.5n-1) = 0.5n(n+1)(2n+1)-1
= /2 被3除時餘2.
2樓：肖瑤如意
1.n為偶數，設n=2k，n為自然數
原式=(2k)^3+1.5*(2k)^2+0.5*2k-1
=8k^3+6k^2+k-1
=9k^3+6k^2-k^3+k-1
=3k(k^2+2k)-k(k^2-1)-1
=3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2
3k(k^2+2k)為整數，且能被3整除
(k-1)k(k+1)為三個連續的自然數相乘，其中必有一個為3的倍數，
結果為整數且能被3整除
所以3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3能被3整除
所以3k(k^2+2k)-(k-1)k(k+1)-3+2為整數且除以3的餘數為2
2.n為奇數，設n=2m+1，m為自然數
原式=(2m+1)^3+1.5(2m+1)^2+0.5(2m+1)-1
=8m^3+12m^2+6m+1+6m^2+6m+1.5+m+0.5-1
=8m^3+18m^2+13m+2
=9m^3+18m^2+12m-m^3+m+2
=3(m^3+6m^2+4m)-(m-1)m(m+1)+2
同理，3(m^3+6m^2+4m)-(m-1)m(m+1)+2為整數且除以3的餘數為2
綜上，( n^3+1.5n^2+0.5n-1)對任何整數n都為整數，且用3除時餘2得證
3樓：
( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=( 2*n^3+3n^2+n)/2-1=n*(2*n^2+3n+1)/2-1=n(n+1)(2n+1)/2-1
因為任意兩個連續整數的積能夠被2整除，因此n(n+1)(2n+1)/2為整數，所以原式為整數
原式＝n(n+1)(2n+1)/2-1＝n(n+1)(2n+1)/2-1-2+2＝n(n+1)(2n+1)/2-3+2
因此只需證明n(n+1)(2n+1)/2能被3整除
用完全歸納法令t＝n(n+1)(2n+1)/2
分類1)當n＝0時，t＝0，能夠被3整除。
2）當n>0時
(1)當n＝1時，t＝3，能被3整除
(2)設當n＝k時，t＝k(k+1)(2k+1)/2能被3整除
則n＝k+1時，t'＝ (k+1)(k+1+1)[2(k+1)+1]/2=(k+1)(k+2)[2k+3]/2
t'-t=(k+1)(k+2)[2k+3]/2 - k(k+1)(2k+1)/2
=(k+1)/2*[(k+2)(2k+3)-k+1)(2k+1)]=(k+1)/2*[2k^2+4k+3k+6-2k^-k]
=(k+1)/2*[6k+6]=3*(k+1)^2/2 能被3整除
而t也能被3整除，因此t'能被3整除
即當n=k，原式能被3整除時，n＝k+1也能被3整除。完全歸納法證畢。
3）當n<0時令m＝-n重複2）即可。證畢。
4樓：
證明：n^3+1.5n^2+0.5n-1=0.5n(n+1)(2n+1)-1
顯然2整除n(n+1)，所以0.5n(n+1)為整數,所以n^3+1.5n^2+0.5n-1為整數
設f(n)=0.5n(n+1)(2n+1)當n=0(mod3）時,顯然3│n
當n=1(mod3）時,顯然3│(2n+1)當n=2(mod3）時,顯然3│(n+1)綜上，總有3│f(n),所以f(n)-1=2(mod3)成立。證畢！
5樓：
1）整數包括奇數和偶數（正、零、負）
當n=0時，顯然：( n^3+1.5n^2+0.5n-1)=-1 為整數
當n為偶數時，令n=2m(m為整數）
此時 ：n^3+1.5n^2+0.5n-1=（2m）^3+4m^2+m-1
=8m^3+6m^2+m-1，
顯然為整數；
當n為奇數時，令n=2m-1
此時：n^3+1.5n^2+0.5n-1
=（2m-1)^3+1.5(2m-1)^2+0.5(2m-1)-1=（2m-1)^3+6m^2-6m+1.
5+m-0.5-1=8m^3-12m^2+6m-1+6m^2-5m=8m^3-6m^2+m-1 ，
同樣為整數
所以，( n^3+1.5n^2+0.5n-1)對任何整數n都為整數2）當n為任意整數
可以看到8m^3+6m^2+m-1和8m^3-6m^2+m-1 中6m^2一定可以被3整除
所以只需要考慮8m^3+m-1被3能否整除。
8m^3+m-1
=9m^3-m^3+m-1
如果上式被3除餘2
那麼 9m^3-m^3+m-1+1一定可以被3整除即9m^3-m^3+m可以被3整除
其中9m^3可以被三整除
而-m^3+m
=-m（m^2-1)
=m(m-1)(m+1)
為連續的3個自然數之積，其中一定有一個數可以被2整除總之，( n^3+1.5n^2+0.5n-1)用3除時餘2
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