尤拉公式x 2y xy x 3的通解

1樓：教育小百科是我

過程如下：

x^2y"-xy'=x^3

(xy'-y)/x^2=x

(y/x)'=x

兩邊積分得

y/x=x^2/2+c

2樓：小牛仔

通解為y=c1x^(-3)+c2x+(1/12)*x^3，其中c1,c2均為任意常數。

根據尤拉方程的求解方法

令x=e^t，則t=lnx，dt/dx=1/x

dy/dx=dy/dt*dt/dx=(1/x)*dy/dt

d^2y/dx^2=(1/x^2)*(d^2y/dt^2-dy/dt)

代入原方程，d^2y/dt^2+2dy/dt-3y=e^(3t)

特徵方程為r^2+2r-3=0，r1=-3，r2=1

齊次方程的通解為y=c1e^(-3t)+c2e^t，其中c1,c2均為任意常數

設非齊次方程的特解y*=ke^(3t)，則y*'=3ke^(3t)，y*''=9ke^(3t)

則9ke^(3t)+6ke^(3t)-3ke^(3t)=e^(3t)，k=1/12

所以y*=(1/12)*e^(3t)

非齊次方程的通解為y=c1e^(-3t)+c2e^t+(1/12)*e^(3t)

原方程的通解為y=c1x^(-3)+c2x+(1/12)*x^3，其中c1,c2均為任意常數

用數學歸納法證明

( 1)當 r= 2時，由說明 1,這兩個區域可想象為以赤道為邊界的兩個半球面，赤道上有兩個「頂點」將赤道分成兩條「邊界」，即 r= 2，v= 2，e= 2；於是 r+ v- e= 2,尤拉定理成立.。

( 2)設 r= m(m≥ 2)時尤拉定理成立，下面證明 r= m+ 1時尤拉定理也成立。

由說明 2，我們在 r= m+ 1的地圖上任選一個區域 x ,則 x 必有與它如此相鄰的區域 y ，使得在去掉 x 和 y 之間的唯一一條邊界後，地圖上只有 m 個區域了；在去掉 x 和 y 之間的邊界後，若原該邊界兩端的頂點現在都還是 3條或 3條以上邊界的頂點。