1樓:匿名使用者
分子分母同乘以1-x, 那麼變為
(1-x)/(1-x^3),
故為首項1-x, 等比x^3的無窮等回
比序列的和,故
答通項為(1-x)*(x^(3k))
=x^(3k) - x^(3k+1), 這裡k=0,1,...
利用泰勒公式求函式f(x)=x^2ln(1+x)在x=0處的100階導數
2樓:匿名使用者
^ln(1+x)=x-x^2/2+x^3/3+,,,+(-1)^(n-1)*x^n/n+(-1)^n*x^(n+1)/[(n+1)(1+θx)^(n+1) (0<θ<1)
f(x)=x^2ln(1+x)
=x^3-x^4/2+x^5/3+,,,+(-1)^(n-1)*x^(n+2)/n+(-1)^n*x^(n+3)/[(n+1)(1+θx)^(n+1) (0<θ<1)
對於f(x)的100階導數,項x^99以及以前專的導數均為0,下面考屬察x^100,即n=98
項(-1)^(97)*x^(100)/98的100階導數=-100!/98=-9900*97!
f(x)=x^2ln(1+x)在x=0處的100階導數=-9900*97!
請問(1+x)^(-1)的泰勒式
3樓:弈軒
一、分析與解答
1.1)分析:函式的泰勒式要以某點為中心展開,若以原點(x=0)為中心,則為泰勒級數的特殊形式——麥克勞林公式,若沒有考慮以x=x0,x0可以為任意值的情況,則不算完整解答了該函式的泰勒展開式。
1.2)答:函式(1+x)^(-1)以x=x0為中心的泰勒式如下圖所示:
二、泰勒級數的方法
泰勒級數是用一類無限項連加式來表達函式的級數。若表示式為x的冪級數,則稱為麥克勞林級數,為泰勒級數的特殊形式。泰勒式公式如圖所示:
三、推導過程
3.1)求(1+x)^(-1)的高階導數表示式,用於求其泰勒式,如下圖:
3.2)代入泰勒式公式1和該函式的高階導數公式2,得:(如圖)
四、泰勒級數的用途
4.1)求函式的數值
對於1/(1+x)而言,此函式本身就較為簡單,直接計算即可。但對於一些定義複雜的函式,如三角函式,則其一般函式值的精確計算要依賴於泰勒級數。舉例如圖所示:
需要注意的是:sin1為無理數,就如同π一樣,只能精確到有限位。利用泰勒公式,可以將很多複雜的函式(有些特殊的函式例外)轉化為只有加減乘除的式子進行計算,而且計算精度可以確定。
著名的圓周率π現代的數值演算法,也應用了泰勒級數的原理。
4.2)數學理論分析和計算
泰勒級數式將簡單的函式式子化為無窮多項冪函式,看似化簡為繁。但事實上泰勒級數可以解決很多數學問題。
如:1求極限時可以用函式的麥克勞林公式(泰勒式的特殊形式);
2一些難以積分的函式,將函式泰勒變為冪級數,使其容易積分;
3複雜離散函式的多項式擬合,用於統計學和**演算法;
4一些數學證明,有時需要將複雜函式化為格式高度統一的冪級數來證明。
此類例子數不勝數,不可能一一列舉。
(插圖用綠色背景展示,以證明其為本人編輯。)
4樓:遊戲王子
這個沒有捷徑,你只能逐個化簡了,小心一點就是
很高興能回答您的提問,您不用新增任何財富,只要及時採納就是對我們最好的回報。若提問人還有任何不懂的地方可隨時追問
5樓:北京燕園思達教育
(1+x)^a的泰勒式
1+c(a,1)x+c(a,2)x2+c(a,3)x3+....
=1+ax+a(a-1)/2! x2+a(a-1)(a-2)/3! x3+。。。。。
其中把a=-1代入上面公式即可。
6樓:不不見不念
1+c(a,1)x+c(a,2)x2+c(a,3)x3+....
=1+ax+a(a-1)/2! x2+a(a-1)(a-2)/3! x3+...
以此類推。
泰勒公式:
數學中,泰勒公式是一個用函式在某點的資訊描述其附近取值的公式。如果函式足夠平滑的話,在已知函式在某一點的各階導數值的情況之下,泰勒公式可以用這些導數值做係數構建一個多項式來近似函式在這一點的鄰域中的值。泰勒公式還給出了這個多項式和實際的函式值之間的偏差。
泰勒公式得名於英國數學家布魯克·泰勒。他在2023年的一封信裡首次敘述了這個公式,儘管2023年詹姆斯·格雷高裡已經發現了它的特例。拉格朗日在2023年之前,最先提出了帶有餘項的現在形式的泰勒定理。
公式形式:
泰勒公式是將一個在x=x0處具有n階導數的函式f(x)利用關於(x-x0)的n次多項式來逼近函式的方法。
若函式f(x)在包含x0的某個閉區間[a,b]上具有n階導數,且在開區間(a,b)上具有(n+1)階導數,則對閉區間[a,b]上任意一點x,成立下式:
7樓:楊柳風
1+c(a,1)x+c(a,2)x2+c(a,3)x3+....
=1+ax+a(a-1)/2! x2+a(a-1)(a-2)/3! x3+......
8樓:最愛
1/(1+x)=1/[1-(-x)]
=1-x+x^2-x^(-3)+...=sum
求函式f(x)=(1-x)/(1+x)在x=0處帶拉格朗日型餘項的n階泰勒式
9樓:花降如雪秋風錘
^^過程如下:
令t=x-1,則有x=t+1,為x0=1處的泰勒公式即相當於為t的公式:
f(x)=1/x
=1/(1+t)
=1-t+t^回2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ r(n)t^(n+1)
f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)f^(ζ答)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)r(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)擴充套件資料:
泰勒公式的餘項rn(x)可以寫成以下幾種不同的形式:
1、佩亞諾(peano)餘項:
這裡只需要n階導數存在。
2、施勒米爾希-羅什(schlomilch-roche)餘項:
其中θ∈(0,1),p為任意正整數。(注意到p=n+1與p=1分別對應拉格朗日餘項與柯西餘項)
3、拉格朗日(lagrange)餘項:
其中θ∈(0,1)。
4、柯西(cauchy)餘項:
其中θ∈(0,1)。
5、積分餘項:
其中以上諸多餘項事實上很多是等價的。
10樓:不是苦瓜是什麼
^令t=x-1,則有x=t+1,為x0=1處的泰勒公式即相當於展開為t的公式:
f(x)=1/x=1/(1+t)=1-t+t^2-t^3+t^4-...+(-1)^n t^n+ r(n)t^(n+1)
f^(n)(t)=(-1)^n *n!/(1+t)^(n+1)f^(ζ
版)=(-1)^n*n!/(1+ζ)^(n+1)r(n)=(-1)^n/(1+ζ)^(n+1)泰勒權式的重要性體現在以下五個方面:
1、冪級數的求導和積分可以逐項進行,因此求和函式相對比較容易。
2、一個解析函式可被延伸為一個定義在複平面上的一個開片上的解析函式,並使得複分析這種手法可行。
3、泰勒級數可以用來近似計算函式的值,並估計誤差。
4、證明不等式。
5、求待定式的極限。
1/(1-x)在x=-1處為泰勒級數
11樓:匿名使用者
^利用已知式
1/(1-x) = ∑(n≥0)(x^n),|x|<1來,可得
1/(1-x) = 1/[2-(x+1)] = (1/2)/[1-(x+1)/2]
= (1/2) ∑(n≥0)[(x+1)/2]^n= ......,|x|<1。
用泰勒公式求極限。1limx0x3x2x2e1xx
1 limit x 3 x 2 x 2 exp 1 x x 6 1 1 2 x,0 極限 無窮大 2 lim x 0 1 x 1 sinx 0 求下列極限 lim x x 3 x 2 x 2 e 1 x x 6 1 7 6 lim x x 636f707962616964757a686964616f...
怎樣證明yxsin1xcos1x在x0處的連續性
連續有三個條件來 自 1,y 0 有值。2.x 0的左右bai,y有極限。3.左右極du 限相等。現在 沒有zhiy o 所以dao不連續。就是補充y 0 的值也沒有用。因為2.不成立。xsin 1 x 0 x 0時 但cos 1 x 是 的 在 1之間 證明 f x xsin 1 x 在x 0處可...
yxx在x0處可導嗎,fxx在x0處不可導,那fxxx在x0處可導嗎
y x x 在來x 0處可導嗎 解 自x 0時y x2 x 0時y x2 因此在x 0處的左導數y 0 x 0 limy x 0 lim 2x 0 在x 0處的右導數 y 0 x 0 limy x 0 lim2x 0 故y 0 y 0 y 0 0 可導。fx x 在x 0處不可導,那fx x x 在...