1樓：匿名使用者
x/(x+1)^2 區間(0-正無窮）的積分
你把函式拆成 (x+1)/(x+1)^2 - 1/(x+1)^2 的做法非常好，第一部分變成了 ln(x+1) 不收斂 ，就可以得到x/(x+1)^2 區間(0-正無窮）的積分發散了
x^2/(x+1)^2的 （0-無窮的）積分
x^2/(x+1)^2的 （0-無窮的）積分=x^2/(x^2+2x+1)的 （0-無窮的）積分=(x^2+2x+1-2x-1)/(x^2+2x+1)的 （0-無窮的）積分=(1-(2x+2-1)/(x^2+2x+1))的 （0-無窮的）積分=(1-(2x+2)/(x^2+2x+1)+1/(x^2+2x+1))的 （0-無窮的）積分
這樣就分成了三個積分：(1)的 （0-無窮的）積分、-(2x+2)/(x^2+2x+1)的 （0-無窮的）積分、1/(x^2+2x+1)的 （0-無窮的）積分=1/(x+1)^2的 （0-無窮的）積分
這三個積分都是發散的，所以x^2/(x+1)^2的 （0-無窮的）積分也發散
2樓：電燈劍客
從你的提問來看，你有很多基本問題都沒搞懂，我只給你簡單點撥一下，你得去把教材仔細看上幾遍
1.如果只需要判斷收斂性
x/(x^2+1)唯一可能出問題的地方是x->+oo，此時x/(x^2+1)～1/x，後者在[1,+oo)積分是發散的，而在[0,1]上x/(x^2+1)是連續函式，不需要額外分析
同樣的道理x^2/(x+1)^2在[0,+oo)的積分也是發散的
2.如果你把積分拆成了兩部分的和，其中一項收斂，另一項發散，那麼原來的積分當然也發散（用反證法證明）。只有當兩項都發散的時候才不好判斷。
3.有理函式的不定積分總能積出來的，所以定積分也總是能求出來的（不過要小心間斷點），要會算。
以上這些都是基本功，必須掌握。
不要追問，不明白的地方反覆看教材。
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