1樓:匿名使用者
例如求曲邊梯形的面積吧。首先作n等分,再作積、作和,取極限。這時曲邊梯形的面積專可表達成lim(n趨於無窮屬)[σf(ξi)△xi],或者lim(λ趨於0)[σf(ξi)△xi],(λ=max△xi)。
由於等分,當n趨於無窮或λ趨於0都能夠表示劃分無窮細。而現在作任意劃分(不一定要等分,為了與上面區別,這裡假設是不等分)。由於不是平均等分,n趨於無窮大僅能表示在某處劃分越來越細(分點n趨於無窮),但是在別處劃分可以不越來越細。
此時n趨於無窮就不能刻畫出對曲邊梯形的劃分無窮細。而λ趨於0,即表示所有小區間中最大的那個區間趨於0,小的也就趨於0了。能說明劃分越來越細。
所以在不等分的情況下,lim(n趨於無窮)[ 求和f(ξi)△xi]是不對的,只能用lim(△xi趨於0)[ 求和f(ξi)△xi]。而在等分的情況下,可以用lim(n趨於無窮)[ 求和f(ξi)△xi]表示待求曲邊梯形的面積。定積分實際上是任意劃分割槽間、任意取點的,而等分只是其中的一種情況。
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2樓:
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