1樓：匿名使用者
先用數學歸納法證明對一切 n∈ n* ，都有 xn＞1然後，在原始等式中，兩邊同時減去xn，右側通分，得到 x(n+1)－xn＝(1－xn)(1＋xn) / 2xn由於第一步已經證明了xn＞1，那麼等式右邊的三個因子，有兩個是正的，有一個是負的，
所以右邊＜0，那麼左邊也＜0，也就是 x(n+1)－xn＜0，即x(n+1)＜xn 這說明它單調遞減，
而前面已經證明了 xn＞1 說明它有下界
那麼，xn的極限存在。令lim xn＝a，則 lim x(n＋1)也為a， 等式兩邊同時取極限，解一個關於a的方程，就可以求出極限a，如果有多個解，根據極限的保號性，應取正值
2樓：及時澍雨
因為有 xn>0 顯然成立
所以，x(n+1)=1/2*(xn+1/xn)≥(1/2)*2=1又 x(n+1)-xn=(1/2)*(1/xn - xn)<0所以，x(n+1) 所以，xn遞減且xn有下限為1 所以，xn的極限存在 3樓：匿名使用者 解：因為x(n+1)＝1/2(xn+1/xn)≥1，所以x(n+1)－xn＝1/2(xn+1/xn)－xn＝1/2(1/xn－xn)≤0，即數列xn單調遞減，且有下界，故xn有極限 設x1=2,xn+1=1/2(xn+1/xn)(n=1,2,…),證明數列{xn}收斂,並求其極限. 4樓：潮淑英秋俏 不動點法。令f（x）=（1/2）[x+（1/x）]，x＞0f'（x）=（1/2）（x²-1）/x²，可知當x＞1時f'（x）＞0，f（x）為增函式 令f（x）＞x，即（1/2）[x+（1/x）]＞x，得0＜x＜1，可知不動點為x=1，x＞1時f（x）＜x x1=2＞1，於是f（1）＜f（x1）＜x1，得1＜x2＜x1，同理f（1）＜f（x2）＜x2，即1＜x3＜x2於是可得1＜x（n+1）＜xn，得xn遞減且有下限，即收斂。於是xn極限存在 令a為xn極限 有a=（1/2）[a+（1/a）]且a≥1得a=1 5樓：張簡智麻辰 xn顯然》0 由均值不等式 x(n+1)>=1 x(n+1)-xn=1/2(1/xn-xn)<=0xn遞減且有下界，收斂 設limxn=a>0 由xn+1=1/2(xn+1/xn) a=1/2(a+1/a) =>a=1 希望對你有幫助！ 6樓：夏侯廣英侯妍 先用數歸證1 n=1顯然成立 假設n=k成立 則1n=k+1 x(k+1)=1/2(xk+1/xk) 因為11/2<1/xk<=1 1<3/2=(1+1/2)/2 所以對於n=k+1也成立 1所以xn是有界數列 下證其單調減 xn+1-xn =1/2(xn+1/xn)-xn =1/2(xn+1/xn-2xn) ...先用數歸證1 n=1顯然成立 假設n=k成立 則1n=k+1 x(k+1)=1/2(xk+1/xk) 因為11/2<1/xk<=1 1<3/2=(1+1/2)/2 所以對於n=k+1也成立 1所以xn是有界數列 下證其單調減 xn+1-xn =1/2(xn+1/xn)-xn =1/2(xn+1/xn-2xn) =1/2(1/xn-xn) =(1-xn^2)/(2xn)<0,因為剛證過xn>1所以xn是一單調有界數列 所以極限必存在（單調有界必有極限） 令n->∞ 極限x=limn->∞ xn滿足 x=1/2(x+1/x) 2x=x+1/x x=1/x x^2=1 x=1(捨去負值，因為xn>1) 所以極限為1收起 7樓：茹翊神諭者 簡單計算一下即可，答案如圖所示 如何證明數列（x1=√2，xn+1=√2xn,n=1,2……;）有極限 8樓：匿名使用者 設f(x)=√(2x),當x>0時是增函式∵x2=f(x1)=√(2√2)>√2=x1∴f(x2)>f(x1),即x3>x2 以此類推,得是單調遞增數列 得xn+1>x1=√2 作特徵方程r=√(2r),解得r=0或2 ∵|xn+1|=|√(2xn)| ∴|xn+1-2|=|√(2xn)-2| =|2xn-4|/|√(2xn)+2| <2|xn-2|/(√2+2) =k|xn-2|,其中k=2/(√2+2)<1∴|xn-2| ∵lim(n→∞)k^(n-1)|x1-2|=0夾逼定理得lim(n→∞)|xn-2|=0,即lim(n→∞)xn=2 最後一步利用瞭如果lim|xn|=0,那麼limxn=0 設x1>0,xn+1=1/2（xn+1/xn）（n=1,2,3....n），證明數列極限xn n趨向無窮存在 並且求極限值. 9樓： x（n+1）=1/2*(xn+1/xn)>=1/2*2=1 xn=1時取等號 即xn是大於等於1的數 2（x（n+1）-xn）=2x（n+1）-2xn=xn+1/xn-2xn =(1-xn^2)/xn <=(1-1)/xn=0即 xn是單調遞減數列 又是有界數列 則極限存在 且極限就是1 設x1>0,xn+1=1/2（xn+1/xn）（n=1,2,3....n），證明數列極限xn n趨向無窮存在 並且求極限值
20 10樓： x（n+1）=1/2*(xn+1/xn)>=1/2*2=1 xn=1時取等號 即xn是大於等於1的數 2（x（n+1）-xn）=2x（n+1）-2xn=xn+1/xn-2xn =(1-xn^2)/xn <=(1-1)/xn=0即 xn是單調遞減數列 又是有界數內列 則極限存在容 且極限就是1 11樓：匿名使用者 因為xn=1/2(x(n-1)+1/x(n-1))>=1/2*2=1x(n+1)-xn=1/2(1/xn - xn)<0所以是du單zhi調遞減數列dao 因為xn>1 所以是單調有界數列 所以極限存在 設極限是 專a那麼a=1/2(a+1/a) a=1或a=-1(因為xn為正向數屬列，捨去)a=1 如何證明數列x1=2，xn+1=1/2（xn+1/xn）的極限存在？說個思路也可以。。謝謝、 12樓：乙翠桃敏星 先用數學歸納法證明對一切 n∈n* ，都有xn＞1 然後，在原始等式中，兩邊同時減去xn，右側通分，得到x(n+1)－xn＝(1－xn)(1＋xn)/2xn 由於第一步已經證明了xn＞1，那麼等式右邊的三個因子，有兩個是正的，有一個是負的， 所以右邊＜0，那麼左邊也＜0，也就是 x(n+1)－xn＜0，即x(n+1)＜xn這說明它單調遞減， 而前面已經證明了 xn＞1 說明它有下界 那麼，xn的極限存在。令lim xn＝a，則 limx(n＋1)也為a， 等式兩邊同時取極限，解一個關於a的方程，就可以求出極限a，如果有多個解，根據極限的保號性，應取正值 13樓：茹翊神諭者 簡單說明一下即可，答案如圖所示 14樓：委香柳那琲 x（n+1）=1/2*(xn+1/xn)>=1/2*2=1xn=1時取等號 即xn是大於等於1的數 2（x（n+1）-xn）=2x（n+1）-2xn=xn+1/xn-2xn =(1-xn^2)/xn <=(1-1)/xn=0 即xn是單調遞減數列 又是有界數列 則極限存在 且極限就是1 高數，如何證明數列x(n+1)=2+1/xn存在極限？ 15樓：嬴離 令f(x)=2+1/x, 顯然f(x)單調減少。 x1=2=20/10 x2=2+1/2=5/2=25/10 x3=2+1/5/2=2+2/5=24/10 ……遞推下去有 x1∞） 令g(x)=f(f(xn))，g(xn)必定單調增加，則xn+2=f(xn+1)=f(f(xn))=g(xn)，由g(xn) 的連續性可以知道 limxn+2=limg(xn)=g(limxn)，在n分別為奇數或偶數時， p=g(p)=f(f(p))=(5p+2)/(2p+1)，q=g(q)=f(f(q))=(5q+2)/(2q+1)， 據方程x=(5x+2)/(2x+1)，即x^2-2x-1=0只有正解，x=1+√2=2.414。所以p=q=2. 414，也就是奇數列和偶數列的極限都是2.414，故此整個數列收斂。收斂於2. 414。 同樣的我們可以得到這樣兩個關於極限的結論 1、當x3落在以x1、x2構成的區間之外時，數列發散。 2、當x3落在以x1、x2構成的區間之內時，數列和均收斂，當兩者收斂值相同時，數列收斂。 證明 xn 0 x n 1 2 6 xn x n 1 2 9 xn 3 x n 1 3 xn 3 x n 1 3 x1 3,由上式 xn 3 對一切xn成立 x n 1 3 xn 3 x n 1 3 xn 3 3 即 是正數遞減序列，所以 極限存在。得到其極限為0，所以原數列極限為3。性質 設一元實... 你知道有個這樣的公式嗎？ab a b 2 2 還有a b 2 ab 相等在a b的情況下才 不明白再追問 設0 證明 因為0有界 又x n 1 xn 3 xn xn 3 3 2 3 2 xn xn 所以遞增單調 有界數列必有極限，設x limxn limx n 1 則x x 3 x 解得x 3 2 ... 分子沒什麼好說的。分母裡x 2乘以o x 2 不就是o x 4 麼,高於二次的項再乘x 2就都高於四次了。設數列 xn 滿足0無窮大 求之 5 當 n 2時,0以 有 xn 1 sinxn調遞減的有界數列,故存在極限,設 lim n xn x,則x sinx,解得 x 0,即 lim n xn 0。...設x1 2,Xn 1 1 Xn n 1,2證明數列Xn收斂,並求其極限
設0X13,X n 1Xn 3 Xnn 1,2證明Xn的極限存在，並求此極限
設數列Xn滿足0X1314Xn1S