1樓:午後藍山
你只看到分母,沒抄有看到分子,所以是錯誤的等價無窮小代換隻用於連乘法與連除法的代換,不可以用於加法和減法的代換,
此題中x^2-sin^2x是減法,不可以用等價無窮小代換的正確的解法是
lim(x→0) (x^2-sin^2x)/x^4 (0/0)=lim(x→0) (2x-2sinxcosx)/(4x^3)=lim(x→0) (2x-sin2x)/(4x^3) (0/0)
=lim(x→0) (2-2cos2x)/(12x^2) (分子等價無窮小代換)
=lim(x→0) 2*[(2x)^2/2]/(12x^2)=1/3
2樓:丫丫頭微笑
不行,那樣做是不對的。那個式子本身就符合洛必達法則啊,0/0型麼,你應該先求導,
高等數學 等價無窮小替換問題
3樓:安克魯
1、「等價無窮小
的替換一般發生在計算兩個無窮小的比值的極限(或者說是兩個無窮小極限值之比)時」。
[評析] 完全正確!
2、「等價無窮小在是乘除時可以替換,加減時不可替換」。
[評析] 不完全對!
如果只是無窮小之間的加加減減時,結果一定還是無窮小,完全可以替代。
如果加減時,還涉及到其他運算,則不能一概而論。
只要是等價無窮小,都可以替換。
3、「在計算等價無窮小之比的極限時,理論上要替換,是要替換掉分子上的無窮小(整個式子),或者分母上的無窮小(整個式子),這時其實是將整個分子或分母當作一個無窮小」。
[評析]:完全正確!
4、「而如果分子或分母上的無窮小不是由一個因式(如單單一個sin x,或tan x)構成的,而是由多個因式通過相乘除或相加減構成的,如 ln(1+x)* x 和ln(1+x)+ x 。那麼可以找一個與ln(1+x)* x 或 ln(1+x)+ x 的等價無窮小量來替換他。
因為ln(1+x)*x 這個無窮小是由兩個因式 想乘而成的,所以替換掉其中一個ln(1+x)為 x,之後形成的x^2 就是ln(1+x)* x的 等價無窮小,所以可以替換。而ln(1+x)+ x ,因為其是由兩個因式相加而形成的無窮小量,所以如果替換掉ln(1+x)為x,而形成的2x不是ln(1+x)+ x的等價無窮小,所以也就不能替換」。
[評析]:樓主被網上誤導了!
x 與 ln(1+x) 是同價無窮小
x^2 與 x*ln(1+x) 仍然是同價無窮小 。
2x 與〔x + ln(1+x)〕也是同價無窮小。
樓主後面受網上誤導不淺。趕緊糾正。
4樓:電燈劍客
這個問題很多人都搞不明白,很多自認為明白的人也不負責任地說一句「乘除可以,加減不行」,包括不少高校教師。其實這種**是不對的!關鍵是要知道其中的道理,而不是記住結論。
1.做乘除法的時候一定可以替換,這個大家都知道。
如果f(x)~u(x),g(x)~v(x),那麼lim f(x)/g(x) = lim u(x)/v(x)。關鍵要記住道理
lim f(x)/g(x) = lim f(x)/u(x) * u(x)/v(x) * v(x)/g(x)
其中兩項的極限是1,所以就順利替換掉了。
2.加減法的時候也可以替換!但是注意保留餘項。
f(x)~u(x)不能推出f(x)+g(x)~u(x)+g(x),這個是很多人說不能替換的原因,但是如果你這樣看:
f(x)~u(x)等價於f(x)=u(x)+o(f(x)),那麼f(x)+g(x)=u(x)+g(x)+o(f(x)),注意這裡是等號,所以一定是成立的!
問題就出在u(x)+g(x)可能因為相消變成高階的無窮小量,此時餘項o(f(x))成為主導,所以不能忽略掉。當u(x)+g(x)的階沒有提高時,o(f(x))仍然是可以忽略的。
比如你的例子,ln(1+x)+x是可以替換的,因為
ln(1+x)+x=[x+o(x)]+x=2x+o(x),
所以ln(1+x)+x和2x是等價無窮小量。
但是如果碰到ln(1+x)-x,那麼
ln(1+x)+x=[x+o(x)]-x=o(x),
此時發生了相消,餘項o(x)成為了主導項。此時這個式子仍然是成立的!只不過用它來作為分子或分母的極限問題可能得到不定型而無法直接求出來而已。
碰到這種情況也不是說就不能替換,如果你換一個高階近似:
ln(1+x)=x-x^2/2+o(x^2)
那麼ln(1+x)-x=-x^2/2+o(x^2)
這個和前面ln(1+x)-x=o(x)是相容的,但是是更有意義的結果,此時餘項o(x^2)可以忽略。也就是說用x-x^2/2作為ln(1+x)的等價無窮小量得到的結果更好。
從上面的例子就可以看出來,餘項很重要,不能直接扔掉,因為餘項當中包含了一定的資訊。而且只要保留餘項,那麼所做的就是恆等變換(注意上面我寫的都是等式)而不是近似,這種方法永遠是可行的,即使得到不定型也不可能得出錯誤的結論。等你學過帶餘項的taylor公式之後對這一點就會有更好的認識。
高數裡面求極限時有哪些可以等價替換的等價無窮小
5樓:吾死在路訊眾血
這個可以用泰勒公式呀,只選取前二項就行!
6樓:匿名使用者
如果你是本科生,那麼只要知道 在因式乘積的情況下,每個因式都可以用等價無窮回小替換。實際上,答有時候加法也是可以的。
之所以這個替換這麼不容易找規律,是因為,等價無窮小替換是基於泰勒公式的。
對於考研的學生來講,如果能熟練運用泰勒公式,相當比例的極限問題可以秒殺,像08年的大題,第一題,口算即可。
泰勒公式只需要到第二項。
求極限要達到一個境界,不用羅比達法則(因為考研的題目,就是像讓同學用洛必達,掉進陷阱。)泰勒公式才是求極限的最好工具。
什麼時候求極限可以用等價無窮小替換,是不是隻有以下三種情況?另外第三種情況是什麼意思?謝啦! 10
7樓:nice千年殺
是啊。x趨於0時候,求極限,可以運用等價無窮小來求解。x趨於0時候,求f(x2/sin2x)也可以使用等價無窮小求解。x2和sin2x是等價無窮小,所以可以求得函式的極限。
等價無窮小:高數中常用於求x趨於0時候極限,當然,x趨於無窮的時候也可求,轉化成倒數即成為等價無窮小。
拓展資料常用等價無窮小:x趨於0時,x和sinx是等價無窮小;sinx和tanx是等價無窮小;tanx和ln(1+x)是等價無窮小;ln(1+x)和e^x-1是等價無窮小;e^x-1和arcsinx、arctanx是等價無窮小;等價無窮小,可以用乘法,但是不能互相加減,否則誤差會增大到不可接受的地步。
8樓:又吃成長快樂哦
樓主求採納~
當為乘積時可用等價無窮小代換求極
限但是當加減時就需要先計算
舉個例子
(sinx-tanx)/x^3 x趨近於0的極限sinx=x+o1(x) tanx=o2(x)sinx-tanx=o1(x)-o2(x)=o(x)[o1(x)o2(x)o(x)都是x高階無窮小]因為二者相減把已知的部分都抵消掉了 剩下的部分是o(x)是一個未知階數的無窮小(只知道它比x高階) 可能是x^2的等價無窮小 這是極限為∞ 也可能是x^3的等價無窮小 這時極限為常數 如果是x^4的等價無窮小 那麼極限就是0了
所以當加減變換把已知部分抵消掉的時候不能用等價無窮小代換否則就可以
比如說sinx+tanx=2x+o(x) 就是0了還有比較特殊的情況 比如說sinx-tanx/x x趨近於0的極限這時等價無窮小代換可得o(x)/x 因為o(x)是x的高階無窮小 所以極限為零
總的來說就是不能肯定的時候 代換時加上高階無窮小余項
9樓:暮雪
這個,其實第二個條件不絕對,加減也行的,我刷到過好多都是加減做出來的題。我總結的規律是凡是加減轉換後等於0的基本不行,其他可以
10樓:熱心網友
什麼時候求極限可以用等價無窮小替代呢?是有三種情況的,你說的很對
11樓:小威
嗯,如果你想求極限,可以用等價無窮小替換嗯,你想問是不是有以下三種?我覺得你回答的都很正確,相信你自己的答案,只能覺得
12樓:遺忘的果果
答: 用等價無窮小代換的大前提:用等價無窮小代換的量必須它本身就是無窮小.
原則:等價無窮小的代換,一定是要在乘除的情況下.對於加減的代換,必須是先進行極限的四則運算後,才可以考慮
13樓:匿名使用者
必須都滿足,(3)就是字面意思。
另外你可以選擇完全不記等價無窮小而直接使用泰勒公式。
14樓:匿名使用者
加減拆分時,必須拆下來的每一項都分別有極限才行,否則不能拆
15樓:孫唾唾
1. a/b型,如果分母是 x 的 k 次冪,則把分子到 k 次冪;如果分子是 x 的 k 次冪,則把分母到 k 次冪。
2. a-b型,將a、b分別到係數不相等的 x 的最低次冪為止。
16樓:匿名使用者
極限是永遠無窮大的,他沒有什麼可以代替,要不然他怎麼會叫極限呢?也沒有什麼三種情況,只有一種情況就是永遠大。
17樓:匿名使用者
3的意思是指 這個x可以拓展成其他初等函式 只要它是無窮小的 也就是滿足(1) 如果你聽過張宇老師的課就知道什麼意思了
18樓:匿名使用者
這些都不是問題問題的存在都能解決的決絕,只要能解決的都不是問題。
19樓:鞏東園
唉,這題都忘了,高中的時候會,現在都不上學十年了
算極限時,什麼時候可以部分代入,高等數學在求極限時什麼時候可以部分帶入
只有在最後求極限的結果時 即去掉極限符號時 才能代入。第一個式子在運算過程中不能代入。第二個式子不是代入,而是分子和分母可以約分,約分之後再代入的。滿意請採納,不懂可追問。其實如果你理解 了極限的思想,這個是很簡單的。但是我表達不出來,內所以只能形式的給你說一下容。簡單點來說,因為第二個可以拆成兩部...
反常積分求極限,高等數學反常積分問題極限無窮大無窮小
1 所謂反常積bai分,反常是指 improper,英du語的意 zhi思是在未積分之dao前,將上版 下限分別代入被積函權數,出現無窮大的情況。這樣就有了 第一種可能 就是無窮型間斷點的情況 第二種可能 就是當x趨向於正無窮大 或負無窮大,因為無窮大不是一個具體的數,靠取極限判斷 這是一種取極限的...
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