1樓:匿名使用者
還是用右手螺旋法則:此時向量v的方向與前者相反。(前者方向垂直向上,後者方向垂直向下)。
向量的外積表示式與方向。
2樓:匿名使用者
其中i,j,k是三個單位向量.
行列式按第一行就行.
外積定義
把向量外積定義為
:符號表示:a× b
大小:|a|·|b|·sin.
方向:右手定則:若座標系是滿足右手定則的,設z=x×y,|z|=|x||y|*sin;則x,y,z構成右手系,伸開右手手掌,四個手指從x軸正方向方向轉到y軸正方面,則大拇指方向即為z正軸方向。
外積的座標表示:
(x1,y1,z1)×(x2,y2,z2)=(y1z2-y2z1,z1x2-z2x1,x1y2-x2y1)
外積的分配律a× (b+c) = a ×b +a ×c
分配律的幾何證明方法很繁瑣,大意是用作圖的方法驗證。有興趣的話請自己參閱參考文獻中的證明。
下面給出代數方法。我們假定已經知道了:
1)外積的反對稱性:
a× b= - b× a.
這由外積的定義是顯然的。
2)內積(即數積、點積)的分配律:
a·(b+ c) = a·b+ a·c,
(a+ b)·c= a·c+ b·c.
這由內積的定義a·b= |a|·|b|·cos;,用投影的方法不難得到證明。
3)混合積的性質:
定義(a×b)·c為向量a,b,c的混合積,容易證明:
i) (a×b)·c的絕對值正是以a,b,c為三條鄰稜的平行六面體的體積 外積,其正負號由a,b,c的定向決定(右手係為正,左手係為負)。
簡單證明:體積v=底面積s×高h
=|a×b|×|h|
=|a×b|×|c|×(c·h)/(|c||h|)
=|a×b|×(c·h)/|h|
而|h|=|a×b|
所以 v=c·h=c·(a×b)
從而就推出:
ii) (a×b)·c= a·(b×c)
所以我們可以記a,b,c的混合積為(a,b,c).
由i)還可以推出:
iii) (a,b,c) = (b,c,a) = (c,a,b)
我們還有下面的一條顯然的結論:
iv) 若一個向量a同時垂直於三個不共面矢a1,a2,a3,則a必為零向量。
外積的分配律證明下面我們就用上面的1)2)3)來證明外積的分配律。
設r為空間任意向量,在r·(a×(b+ c))裡,交替兩次利用3)的ii)、iii)和數積分配律2),就有
r·(a×(b + c))
= (r×a)·(b+ c)
= (r×a)·b+ (r×a)·c
= r·(a×b) + r·(a×c)
= r·(a×b+ a×c)
移項,再利用數積分配律,得
r·(a×(b+ c) - (a×b+ a×c)) = 0
這說明向量a×(b+ c) - (a×b+a×c)垂直於任意一個向量。按3)的iv),這個向量必為零向量,即
a×(b+ c) - (a×b+ a×c) = 0
所以有a×(b+ c) = a×b+a×c.證畢
3樓:松茸人
向量積,數學中又稱外積、叉積,物理中稱矢積、叉乘,是一種在向量空間中向量的二元運算。與點積不同,它的運算結果是一個向量而不是一個標量。並且兩個向量的叉積與這兩個向量和垂直。
其應用也十分廣泛,通常應用於物理學光學和計算機圖形學中。
兩個向量a和b的叉積寫作a×b(有時也被寫成a∧b,避免和字母x混淆)。 [1]
定義向量積可以被定義為:。
模長:(在這裡θ表示兩向量之間的夾角(共起點的前提下)(0°≤θ≤180°),它位於這兩個向量所定義的平面上。)
方向:a向量與b向量的向量積的方向與這兩個向量所在平面垂直,且遵守右手定則。(一個簡單的確定滿足「右手定則」的結果向量的方向的方法是這樣的:
若座標系是滿足右手定則的,當右手的四指從a以不超過180度的轉角轉向b時,豎起的大拇指指向是c的方向。)
也可以這樣定義(等效):
向量積|c|=|a×b|=|a||b|sin
即c的長度在數值上等於以a,b,夾角為θ組成的平行四邊形的面積。
而c的方向垂直於a與b所決定的平面,c的指向按右手定則從a轉向b來確定。
*運算結果c是一個偽向量。這是因為在不同的座標系中c可能不同。 [1]
座標運算
設=(),=()。i,j,k分別是x,y,z軸方向的單位向量,則 [1] :
a×b=(-)i+(-)j+(-)k,為了幫助記憶,利用三階行列式,寫成det
證明為了更好地推導,我們需要加入三個軸對齊的單位向量i,j,k。
i,j,k滿足以下特點:
i=jxk;j=kxi;k=ixj;
kxj=–i;ixk=–j;jxi=–k;
ixi=jxj=kxk=0;(0是指0向量)
由此可知,i,j,k是三個相互垂直的向量。它們剛好可以構成一個座標系。
這三個向量的特例就是i=(1,0,0)j=(0,1,0)k=(0,0,1)。
對於處於i,j,k構成的座標系中的向量u,v我們可以如下表示:
u=xu*i+yu*j+zu*k;
v=xv*i+yv*j+zv*k;
那麼uxv=(xu*i+yu*j+zu*k)x(xv*i+yv*j+zv*k)
=xu*xv*(ixi)+xu*yv*(ixj)+xu*zv*(ixk)+yu*xv*(jxi)+yu*yv*(jxj)+yu*zv*(jxk)+zu*xv*(kxi)+zu*yv*(kxj)+zu*zv*(kxk)
由於上面的i,j,k三個向量的特點,所以,最後的結果可以簡化為
uxv=(yu*zv–zu*yv)*i+(zu*xv–xu*zv)*j+(xu*yv–yu*xv)*k。 [1]
與數量積的區別
注:向量積≠向量的積(向量的積一般指點乘)
一定要清晰地區分開向量積(矢積)與數量積(標積)。見下表。
幾何意義及其運用
叉積的長度|a×b|可以解釋成這兩個叉乘向量a,b共起點時,所構成平行四邊形的面積。據此有:混合積[abc]=(a×b)·c可以得到以a,b,c為稜的平行六面體的體積。 [1]
代數規則
1、反交換律:a×b=-b×a
2、加法的分配律:a×(b+c)=a×b+a×c。
3、與標量乘法相容:(ra)×b=a×(rb)=r(a×b)。
4、不滿足結合律,但滿足雅可比恆等式:a×(b×c)+b×(c×a)+c×(a×b)=0。
5、分配律,線性性和雅可比恆等式別表明:具有向量加法和叉積的r3構成了一個李代數。
6、兩個非零向量a和b平行,當且僅當a×b=0。 [1]
拉格朗日公式
這是一個著名的公式,而且非常有用:
(a×b)×c=b(a·c)-a(b·c)
a×(b×c)=b(a·c)-c(a·b)
證明過程如下:
二重向量叉乘化簡公式及證明
可以簡單地記成「bac-cab」。這個公式在物理上簡化向量運算非常有效。需要注意的是,這個公式對微分運算元不成立。
這裡給出一個和梯度相關的一個情形:
這是一個霍奇拉普拉斯運算元的霍奇分解的特殊情形。
另一個有用的拉格朗日恆等式是:
這是一個在四元數代數中範數乘法|vw|=|v||w|的特殊情形。 [2]
矩陣形式
給定直角座標系的單位向量i,j,k滿足下列等式:
i×j=k;
j×k=i;
k×i=j;
通過這些規則,兩個向量的叉積的座標可以方便地計算出來,不需要考慮任何角度:設
a=[a1,a2,a3]=a1i+a2j+a3k;
b=[b1,b2,b3]=b1i+b2j+b3k;
則a×b=[a2b3-a3b2,a3b1-a1b3,a1b2-a2b1]。
叉積也可以用四元數來表示。注意到上述i,j,k之間的叉積滿足四元數的乘法。一般而言,若將向量[a1,a2,a3]表示成四元數a1i+a2j+a3k,兩個向量的叉積可以這樣計算:
計算兩個四元數的乘積得到一個四元數,並將這個四元數的實部去掉,即為結果。更多關於四元數乘法,向量運算及其幾何意義請參看四元數(空間旋轉)。 [2]
高維情形
七維向量的叉積可以通過八元數得到,與上述的四元數方法相同。
七維叉積具有與三維叉積相似的性質:
雙線性性:x×(ay+bz)=ax×y+bx×z;(ay+bz)×x=ay×x+bz×x;
反交換律:x×y+y×x=0;
同時與x和y垂直:x·(x×y)=y·(x×y)=0;
拉格朗日恆等式:|x×y|2=|x|2|y|2-(x·y)2;
不同於三維情形,它並不滿足雅可比恆等式:x×(y×z)+y×(z×x)+z×(x×y)≠0。
希望我能幫助你解疑釋惑。
關於向量的叉乘右手定則判方向
4樓:angela韓雪倩
a×b的方向:四指由a開始,指向b,拇指的指向就是a×b的方向,垂直於a和b所在的平面;
b×a的方向:四指由b開始,指向a,拇指的指向就是b×a的方向,垂直於b和a所在的平面;
a×b的方向與b×a的方向是相反的,且有:a×b=-b×a。
注:向量積≠向量的積(向量的積一般指點乘)一定要清晰地區分開向量積(矢積)與數量積(標積)。
5樓:劉賀
其實也不要太依賴百科,叉乘沒那麼複雜,當然這是我的感覺供你參考:
a×b的方向:四指由a開始,指向b,拇指的指向就是a×b的方向,垂直於a和b所在的平面
b×a的方向:四指由b開始,指向a,拇指的指向就是b×a的方向,垂直於b和a所在的平面
a×b的方向與b×a的方向是相反的,且有:a×b=-b×a
6樓:小熊貓大胸貓
基本概念應該有了一些瞭解,具體怎麼操作可能還不懂。向量a與向量b叉乘,這兩個向量一定在一個平面上,把向量a和向量b的起點確定在同一點(向量的平移不改變大小和方向)。a向量和b向量之間有一個夾角α,注意:
0≤α≤180。例如向量a和b之間的小角為60度,大角是300度,我們認為兩向量的夾角是60度。
a叉乘b,先讓a的方向插入右手手掌心,(向量a的方向垂直於右手手掌平面),右手四個手指往向量b的方向彎曲,彎曲角度就是α的角度,不能超過180度。
b叉乘a,先讓b的方向插入右手手掌心,(向量b的方向垂直於右手手掌平面),右手四個手指往向量a的方向彎曲,彎曲角度就是α的角度,不能超過180度。
a叉乘b和b叉乘a的方向相反,所以a叉乘b=-b叉乘a。a叉乘b的結果是向量,點乘是一個數,是標量。叉乘它的方向是垂直於ab所在的平面,大小為a叉乘b=a的模×b的模×sinα,α是向量a和b的夾角。
ps:由於我是在網頁版回答的問題,所以不能上傳**解釋。叉乘右手定則最先是在物理領域,後來推廣到數學領域。
在初中,學過通電螺線管,右手四指的方向指向電流的方向,大拇指的方向就是螺旋管n極的方向。
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