1樓:手機使用者
非齊次微分
方程baiy′′+ay′+by=x對應du的齊次微分方程y′′+ay′+by=0的通解zhi為:
y=(c1+c2x)ex,dao
故可設專非齊次微分方程y′′屬+ay′+by=x的特解:
y*=mx+n,
y*′=m,y*′′=0,
代入非齊次微分方程:y′′+ay′+by=x,可得:am+b(mx+n)=x,
從而:m=1
b,n=?ab,
所以:y*=1
bx?a
b於是,非齊次微分方程y′′+ay′+by=x的通解:
y=y+y
*=(c
+cx)ex+1
bx?ab,
又由:y(0)=0,y′(0)=0可得:c?ab=0c+c
+1b=0,
所以求得:c=a
bc=?a+bb,
所以,y=(a
b?a+b
bx)ex+1
bx?ab.
若二階常係數線性齊次微分方程y′′+ay′+by=0的通解為y=(c1+c2x)ex,則非齊次方程y′′+ay′+by=x滿足條件
2樓:手機使用者
因為常係數bai線性齊次微分方程duy′′+ay′+by=0 的通解為y=(c1+c2 x)ex,
故zhi r1=r2=1為其特徵方程的重根dao,且其特徵方程為內
(r-1)2=r2-2r+1,
故 a=-2,b=1.
對於容非齊次微分方程為y′′-2y′+y=x,設其特解為 y*=ax+b,
代入y′′-2y′+y=x 可得,
0-2a+(ax+b)=x,
整理可得
(a-1)x+(b-2a)=0,
所以 a=1,b=2.
所以特解為 y*=x+2,
通解為 y=(c1+c2 x)ex +x+2.將y(0)=2,y(0)=0 代入可得,
c1=0,c2=-1.
故所求特解為 y=-xex+x+2.
故答案為-xex+x+2.
設二階常係數線性微方程y''+ay'+by=0的通解為y=c1e∧x+c2e∧2x,那麼非齊次方程
3樓:匿名使用者
^^y=e^2x+(x+1)e^x
y'=2e^2x+e^x+xe^x
y"=4e^2x+3e^x+xe^x
帶入y''+ay'+by=ce^x
解得 a=-3 b=2 c=2
y''-3y'+2y=2e^x
3^2-4*2=1>0
入1=2 入2=1
通解y=c1e^2x+c2e^x
特解e^2x+(x+1)e^x
解為y=c1e^2x+c2e^x+xe^x
二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的 150
4樓:愛佳佳的恐龍
標準形式 y′′+py′+qy=0
特徵方程 r^2+pr+q=0
通解兩個不相等的實根:y=c1e^(r1x)+c2e^(r2x)兩根相等的實根:y=(c1+c2x)e^(r1x)共軛復根r=α+iβ:
y=e^(αx)*(c1cosβx+c2sinβx)
標準形式 y''+p(x)y'+q(x)y=f(x)
5樓:匿名使用者
有兩種方法:
第一種是套公式待定係數:方程右邊如果是exp(ax)(am1(x)cosx+bm1(x)sinx),則特解的形式為exp(ax)(cm(x)cosx+dm(x)sinx). 其中am1指次數為m1的x的多項式,m=max.
將該形式代入方程,確定出cm和dm。
這種方法技術含量低,普遍性差。
第二種是laplace變換:將方程兩邊做laplace變換,由變換公式l[y']=pl[y]+y(0),微分方程將變成代數方程,解出l[y],再將其反演,得到y
這種方法技術含量高,普遍性好,並且可以直接得到完整解,而不只是特解。
6樓:匿名使用者
特徵根方程
假設解是e^(r*t)
r是待定常數
代入可以得到
(r^2+k^2)e^(r*t)=0
r^2+k^2=0
r=ki,-ki
然後由尤拉公式
e^(ki)=cosk+isink
e^(-ki)=cosk-isink
x=a(cosk+isink)+b(cosk-isink)整理即得
x=c1 cosk + c2 sink
然後任取一個為0,一個為1即可
已知某二階常係數線性非齊次微分方程的通解為y=c1ex+c2e-x-12+110cos2x,則此微分方程為( )a.y′′+y
7樓:豪子帶刷
由題意,對應齊次線性方程的通解為y=cex+ce
?x,因此
特徵方程為
(λ專-1)(λ+1)=0,即λ2-1=0.可見,對屬應的齊次方程為y′′-y=f(x),將特解y
*=?12+1
10cos2x代入,得
f(x)=12?1
2cos2x=sin
x,故此微分方程為y′′-y=sin2x
故選:d
二階常係數齊次線性微分方程
這是一類很特殊的方程，字首有點多，是一類範圍很小的方程，但在物理中經常見到，故單獨拿出來進行討論。我們先從二階線性微分方程入手，y p x y q x y r x 0，若r x 0，則為二階線性齊次微分方程。進一步地，若係數和x無關，都為常數，即為常係數二階線性齊次微分方程y py qy 0.要求解...
二階常係數齊次線性微分方程通解二階常係數齊次線性微分方程特解是怎麼得到的
y 2y 5y 0,設y e f x 則 y e f x f x y e f x f x 2 e f x f x 0 y 2y 5y e f x f x 2 e f x f x 2e f x f x 5e f x 0 f x 2 f x 2f x 5,當f x ax b,a,b是常數時。f x 0,...
二階常係數齊次線性微分方程若等式右邊為常數，在求特解時需要設be kx嗎？還是隻要設b就可以了
y k1 k2 y k1.k2 y k3yg ae k1.x be k2.x 特解yp k4 yp k1 k2 yp k1.k2 yp k3 k1.k2 k4 k3 k4 k3 k1.k2 通解y yg yp ae k1.x be k2.x k3 k1.k2 這個二階常係數齊次線性微分方程的代入公式...